Question

两颗靠得很近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心作角速度相同的匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力而吸引在一起，设两双星质量分别为m和M，M=3m．两星球间的距离为L，如图，在这两个星球间的相互万有引力作用下，绕它们连线上某点O转动，求：
（1）OM间的距离r₁为多少？
（2）他们的运动周期为多少？（引力常数G为已知）

Answer 1

分析：双星以两者连线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，向心力由对方的万有引力提供，而且双星的条件是角速度相同，根据牛顿第二定律隔离两个天体分别研究，再求解星体m₁的轨道半径和周期．

解答：解：（1）双星向心力F和角速度ω大小相等，根据万有引力提供向心力：
对M有：G

Mm

L2

=Mω2r1  ①
对m有：G

Mm

L2

=mω2r2
解得：

r1

r2

=

m

M

=

1

3

又   r₁+r₂=L
所以 r1=

1

4

L
（2）由①式得：
ω2=

Gm

L2r1

又因为ω=

2π

T

所以ω2=

4π2

T2

=

Gm

L2r1

解得：T=πL

L Gm

答：（1）、OM间的距离r₁为

1

4

L；
（2）、他们的运动周期为πL

L Gm

．

点评：本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：周期相同．