Question

13．如图所示，有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=1.8m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，最后小物块无碰撞的地滑上紧靠轨道末端D点的足够长的水平传送带．已知传送带上表面与圆弧轨道末端切线相平，传送带沿顺时针方向匀速运动的速度为v=3m/s，小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧轨道的半径为R=2m，C点和圆弧的圆心O点连线与竖直方向的夹角θ=53°，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）小物块到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（2）小物块从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中在传送带上留下划痕的长度．

Answer 1

分析 （1）小物块从A到C做平抛运动，到达C点时速度沿C点的切线方向，由速度分解求出物体到C点的速度大小．由C到D利用动能定理求解D点速度，在D点利用牛顿第二定律和牛顿第三定律列式求解即可压力；
（2）物块在传送带上滑动时，做匀减速运动，当速度减到零后，反向匀加速直线运动，速度相同后一起做匀速运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出相对位移，即为划痕的长度．

解答 解：（1）设小物体在C点的速度为v_c，在C点有 v_c=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$；
解得 v_c=3m/s
从C到D，由动能定理得
    mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²
解得 v_D=5m/s
小球在D点，设轨道对小球的作用力为F_N，由牛顿第二定律得：
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得 F_N=22.5N 
由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为 F_N′=F_N=22.5N，方向竖直向下．
（2）设物体在传送带上加速度大小为a，则由牛顿第二定律得
   μmg=ma
得 a=μg=5m/s²；
物体由D点向左运动至速度为零，所用时间为t₁，向左通过的位移为x₁，则
  v_D=at₁，x₁=$\frac{{v}_{D}}{2}{t}_{1}$
t₁时间内传送带向右的位移为 x₁=vt₁
物体速度由零增加到与传送带速度相等过程，所用时间为t₂，t₂=$\frac{v}{a}$
通过的位移x₃，x₃=$\frac{v}{2}{t}_{2}$        
传送带的位移为 x₄=vt₂
小木块相对传送带移动的路程为：x=x₁+x₂+x₄-x₃
联立解得 x=6.4m
即小物块从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中在传送带上留下划痕的长度是6.4m．
答：
（1）小物块到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小为22.5N，方向竖直向下；
（2）小物块从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中在传送带上留下划痕的长度是6.4m．

点评 恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球在C点速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒或动能定理解决，能够很好的考查学生的能力．