Question

（2012?奉贤区二模）如图所示，一质量m=0.1kg、电量q=1.0×10^-5 C的带正电小球（可视作点电荷），它在一高度和水平位置都可以调节的平台上滑行一段距离后平抛，并沿圆弧轨道下滑．A、B为圆弧两端点，其连线水平，已知圆弧半径R=1.0m，平台距AB连线的高度h可以在0.2m-0.8m．之间调节．有一平行半径OA方向的匀强电场E，只存在圆弧区域内．为保证小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，小球平抛初速度v₀和h满足如图所示的抛物线，同时调节平台离开A点的距离合适．不计空气阻力，取g=10m/s²，求：
（1）小球在空中飞行的最短时间t；
（2）平台离开A的水平距离x范围；
（3）当h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C时，小球滑到最低点C点的速度v；
（4）为了保证小球在圆轨道内滑动到C点的速度都是（3）中的v，则电场力F=qE的大小应与平台高度h满足的关系．（通过列式运算说明）

Answer 1

分析：（1）小球在空中做平抛运动，由t═

2h g

求出最短时间．
（2）因为小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，则小球进入圆弧轨道时的速度方向不变，根据速度的分解求出球进入圆弧轨道时的速度方向与竖直方向的夹角，得到v₀和h的表达式，求出初速度，即可求出水平距离x范围；
（3）从A点到C点，由动能定理求得小球滑到最低点C点的速度v．
（4）从A点到C点，由动能定理求出电场力F的大小应与平台高度h满足的关系．

解答：解：（1）当平台高度为0.2m时，空中飞行的最短时间t=

2h g

=0.2s
（2）因为小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，所以小球进入圆弧轨道时的速度方向不变，设此速度与竖直方向成α角．
tanα=

v0

vy

=

v0

2gh

v₀²=2ghtan²α
由图象中当h=0.8m时，v₀=3m/s代入上式得
  9=2×10×0.8×tan²α
tanα=0.75 α=37° 则θ=106°
所以v₀²=11.25h
当h=0.2m时，v₀=1.5m/s
平台离开A的最小距离为s₁=v₀t=1.5×0.2=0.3m
同理得平台离开A的最大距离为s₂=v₀

2h g

=3×

2×0.8 10

=1.2m
（3）小球到达A点时的速度v_A=

v0

sinα

=

1.5

0.6

=2.5m/s
从A点到C点，由动能定理得
mgR（1-cos53°）-qE R（1-cos53°）=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_A²
代入数据，解得v_C=3.5m/s
（4）从A点到C点，由动能定理得
mgR（1-cos53°）-FR（1-cos53°）=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_A²
=

1

2

mv_C²-

1

2

m(

vy

cosα

)2=

1

2

mv_C²-

1

2

m

2gh

cos2α

代入数据得32F=125h-17
得  F=3.9h-0.53
答：
（1）小球在空中飞行的最短时间t是0.2s；
（2）平台离开A的水平距离x范围；
（3）当h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C时，小球滑到最低点C点的速度v；
（4）为了保证小球在圆轨道内滑动到C点的速度都是（3）中的v，则电场力F=qE的大小应与平台高度h满足的关系是 F=3.9h-0.53．

点评：本题是平抛运动、圆周运动、动能定理的综合，要熟练应用分解的方法研究平抛运动，根据物理规律得到解析式是基本的方法和思路．