Question

15．如图所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m，电量为e），从坐标原点O不断的以相同大小的速度v沿不同方向射入I象限，现加一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向+x方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积？

Answer 1

分析 由洛仑兹力充当向心力可求得半径大小；再根据粒子在磁场中运动的物理规律利用数学知识确定上下边界；则可求得磁场的面积．

解答 解：如图所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R=$\frac{mv}{Be}$．在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过$\frac{1}{4}$圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界．下面确定磁场区域的下边界．设某电子做匀速圆周运动的圆心O′与O点的连线与y轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）．由图中几何关系可得

x=Rsinθ，y=R-Rcosθ，
消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为：
x²+（R-y）²=R²，（x＞0，y＞0）
这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处．磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积．磁场的最小面积为；
S=2（$\frac{1}{4}$πR²-$\frac{1}{2}$R²）=$\frac{（π-2）{m}^{2}{v}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$
答：符合该条件的磁场的最小面积为$\frac{（π-2）{m}^{2}{v}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，要注意明确圆心和半径的确定方法，同时掌握利用数学规律求解物理问题的方法，这需要多加练习．