Question

在xoy平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，如图所示，OA与y轴所夹区域存在y轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量m，电量q，从y轴上的P点沿着x轴正方向以v₀的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于OA方向经过Q点进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场。已知OP = h，不计粒子的重力。

⑴求粒子垂直射线OA经过Q点的速度v_Q；

⑵求匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值；

⑶粒子从M点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂直OA进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从y轴正方向上某点垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OA方向进入磁场……求粒子从P点开始经多长时间能够运动到O点？

 

Answer 1

解：⑴设垂直OA到达Q点的速度为v_Q，将速度分解为水平方向的v₀和竖直方向的v_y，如图所示，则

v_y＝，（2分）     v_Q＝（2分）

⑵做出粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何知识可得出原点O即为轨迹圆的圆心，OQ为轨迹圆的半径，设为R。

在电场中的运动，由类平抛的知识可得：

，，

可求得（2分）

在磁场中的运动，由圆周运动的知识可得：

，。    （2分）

所以     （1分）

⑶设粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径为R₁，在电场中运动的时间为t₁₁，在磁场中运动的时间为t₁₂，在电场、磁场中运动的总时间为t₁，则有

，，    （1分）

又由解得，    （1分）

从而有      （1分）

由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，又设粒子第二次在磁场中做圆周运动的半径为R₂，在电场中运动的时间为t₂₁，在磁场中运动的时间为t₂₂，在电场、磁场中运动的总时间为t₂，类似上面的求解，有

，，

又由解得，，将此结果代入上式可得

      （1分）

…………

类推可知，粒子第n次在电场、磁场中运动的总时间        （1分）

所以粒子最终运动到O点的时间为

       （1分）