Question

20．嫦娥一号是我国研制的首颗绕月人造卫星，设嫦娥一号贴着月球表面做匀速圆周运动，经过时间t （t小于嫦娥一号的绕行周期），嫦娥一号运动的弧长为s，嫦娥一号与月球中心的连线扫过角度为θ（θ为弧度制表示），引力常量为G，则下面描述错误的是（　　）

• A． 航天器的轨道半径为$\frac{s}{θ}$
• B． 航天器的环绕周期为$\frac{2πt}{θ}$
• C． 月球的质量为$\frac{{s}^{2}}{Gθ{t}^{2}}$
• D． 月球的密度为$\frac{3{θ}^{2}}{4G{t}^{2}}$

Answer 1

分析 根据弧长与半径、角度的关系求出航天器的轨道半径．根据转过的角度求出角速度，从而得出航天器的周期．根据万有引力提供向心力，结合线速度的大小求出月球的质量，根据密度公式求出月球的密度．

解答 解：A、在t时间内穿过的弧长为s，转过的角度为θ，根据s=rθ知，航天器的轨道半径r=$\frac{s}{θ}$，故A正确．
B、航天器的角速度$ω=\frac{θ}{t}$，则周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2πt}{θ}$，故B正确．
C、航天器的线速度v=$\frac{s}{t}$，根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，月球的质量M=$\frac{{v}^{2}r}{G}=\frac{{s}^{3}}{{Gt}^{2}θ}$，故C错误．
D、航天器贴着月球表面运行，轨道半径等于月球的半径，月球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{{s}^{3}}{G{t}^{2}θ}}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{3{θ}^{2}}{4πG{t}^{2}}$，故D错误．
本题选择不正确的，故选：CD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、角速度、周期、轨道半径之间的关系．