Question

在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y=2.5cos（kx+2π/3）m，式中k=1m^-1．将一光滑小环套在该金属杆上，并从x=0处以v₀=5m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）当小环运动到x=π/3m时的速度多大？
（2）该小环在x轴方向最远能运动到多远处．

Answer 1

分析：本题（1）的关键是根据曲线方程求出小环在x=0和x=

π

3

时对应的纵坐标值，然后根据动能定理即可求解；题（2）的关键是明确小环运动到最远的含义是末速度等于0时，根据动能定理可求出此过程发生的位移h，然后根据h=

y

1

-y

2

求出

y

，代入曲线方程即可求出x．

解答：解：（1）当x=0时，

y

1

=2.5cos

2

3

π=-1.25m，当x=

π

3

时，

y

2

=2.5cosπ=-2.5m，由此可知，小环下落的高度为△y=

y

1

-y

2

=-1.25m-2.5m=1.25m，由动能定理得：
mg△y=

1

2

m

v

2

-

1

2

mv

2 0

，代入数值得：v=5

2

m/s．
（2）当小环速度为零时，设上升的高度为h，由动能定理得：-mgh=0-

1

2

m

v

2 0

，解得h=

v 2 0

2g

=1.25m，即

y

1

-y

2

=h=1.25，解得

y

2

=0，即当y=0时小环速度为零，所以有2.5cos（kx+

2

3

π）=0，解得x=

5π

6

m．
答：（1）当小环运动到x=

π

3

m时的速度为5

2

m/s．
    （2）该小环在x轴方向最远能运动到

5π

6

m远处．

点评：明确曲线方程与位移方程的区别，对做曲线运动的物体应用动能定理求解速度的大小．