Question

如图（a）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心，半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后恰能从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角30°，此时圆形区域加如图（b）所示周期性变化的磁场（以电子进入圆形区域开始计时，且磁场方向以垂直于纸面向外为正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴夹角也为30°．求：

（1）电子进入圆形区域时的速度大小；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小；
（3）写出圆形区域磁场的变化周期T、磁感应强度B₀的大小各应满足的表达式．

Answer 1

分析：（1）电子在电场中作类平抛运动，离开电场时电子的速度方向与x轴夹角30°，

v0

v

=cos30°，可求得电子进入圆形区域时的速度v．
（2）运用运动的分解法研究可知：电子竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，v_y=v₀tan30°=at=

eE

m

t，水平方向t=

L

v0

，联立可求出E．
（3）在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°，由几何知识得到在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于电子的轨迹半径R，由题意，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：

.

MN

=n?R=2L，由牛顿第二定律得到半径R=

mv

eB0

，联立得到磁感应强度B₀的大小表达式．电子在磁场变化的半个周期恰好转过

1

6

圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求，应满足的时间条件：

T

2

=

T运

6

，而T=

2πm

eB0

，可求得T的表达式．

解答：解：（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，
由速度关系：

v0

v

=cos30°
解得v=

2

3

3

v0
（2）由速度关系得  vy=v0?tan30°=

3

3

v0
在竖直方向 a=

eE

m

          vy=at=

eE

m

?

L

v0

解得  E=

3 m v 2 0

3eL

（3）如图所示，在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，所以，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
   

.

MN

=n?R=2L
电子在磁场作圆周运动的轨道半径  R=

mv

eB0

=

2 3 mv0

3eB0

得  B0=

n 3 mv0

3eL

(n=1，2，3…)
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过

1

6

圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：

T

2

=

T运

6

T=

1

3

T运=

2πm

3B0e

代入T的表达式得：T=

2 3 πL

3nv0

(n=1，2，3…)
答：（1）电子进入圆形区域时的速度大小是

2

3

3

v0；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是

3 m v 2 0

3eL

；
（3）写出圆形区域磁场的变化周期表达式为T=

2 3 πL

3nv0

(n=1，2，3…)、磁感应强度B₀的大小表达式是得 B0=

n 3 mv0

3eL

(n=1，2，3…)
．

点评：本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要抓住周期性，根据几何关系求解电子的半径满足的条件．