Question

7．据中国之声《新闻高峰》报到，科学家或将在2016年8月底公布在银河系里发现一个与“地球相近似”的行星．这个行星孕育生命的可能性，这个“地球”要比上次发现的“地球近亲比邻星要近得多．若质量可视为均匀分布的球形“与地球相近似”的行星的密度为ρ，半径为R、自转周期为T₀，若万有引力常量为G，则（　　）

• A． 该行星的同步卫星的运行速率为$\frac{2πR}{{T}_{0}}$
• B． 该行星的同步卫星的轨道半径为$\frac{ρG{{T}_{0}}^{2}}{3π}$
• C． 该行星表面重力加速度在两极的大小为$\frac{4}{3}$GρRπ
• D． 该行星的卫星在星球表面附近做圆周运动的速率为2πR$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$

Answer 1

分析 利用行星两极物体所受的万有引力等于重力求出重力加速度，根据万有引力提供向心力结合行星密度可以求出行星的卫星在星球表面圆周运动的速度，行星同步卫星的周期等于行星自转周期，根据万有引力提供向心力得到轨道半径，行星运行速率根据v=ωr求解

解答 解：A、根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}_{行}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{r}_{行}^{\;}$
得：${r}_{行}^{\;}=\root{3}{\frac{GM{T}_{0}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
由于M=ρV=$ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：${r}_{行}^{\;}=\root{3}{\frac{Gρ{R}_{\;}^{3}{T}_{0}^{2}}{3π}}$，故A错误．
B、根据$v=ω{r}_{行}^{\;}$，该行星的同步卫星的轨道半径不等于行星半径R，故B错误；
C、对于放置于行星两极的质量为m的物体，由万有引力等于重力得出：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$…①
其中$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$…②
联立①②得：$g=\frac{4}{3}gρRπ$，故C正确
D、卫星绕行星表面做匀速圆周运动，万有引力等于向心力，有：
${F}_{引}^{\;}={F}_{向}^{\;}$
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
由于$M=ρV=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
所以有$v=\sqrt{\frac{4π{R}_{\;}^{2}ρG}{3}}$，故D错误．
故选：C

点评 卫星绕行星做匀速圆周运动的物理模型，关键是抓住两条核心规律：一是万有引力等于向心力，二是重力等于万有引力，另外要注意同步卫星的特点：定周期、定轨道、定高度．