Question

如图（甲）所示，一竖直放置的边长为L的正方形导线框，其内有垂直框面向外的均匀变化的磁场，磁场变化如图（乙）所示．导线框两端分别连平行板电容器的两极板M、N，M、N的长度和它们之间的距离都是d，两平行板所在平面与纸面垂直．
（1）一质子沿M、N两板正中央水平射入，恰好打在N板的中点处．已知质子的质量和电量分别为m、e，求M、N两板间的电压U_MN和质子入射的初速度v₀．
（2）若在M、N间加一垂直纸面的匀强磁场B，质子以初速度v沿两极板的正中央入射时，恰好沿直线通过两板，求M、N间所加磁场B的大小和方向．
（3）若在M、N的右侧有一垂直M、N板的长接收板P，且在接收板与M、N间也存在（2）中所加的同样大小与方向的磁场B，则质子以直线通过M、N板之后恰好没有碰到P板．求M板右端到P板的距离．

Answer 1

分析：（1）由法拉第电磁感应定律可以求出MN间的电压；质子在MN间做类平抛运动，由类平抛运动的知识可以求出质子的初速度．
（2）质子沿直线通过MN板，则质子在板间所受电场力与洛伦兹力是一对平衡力，由电场力公式与洛伦兹力公式可以求出磁感应强度．
（3）质子恰好没有碰到P板，则质子做圆周运动离开MN两板时速度方向过板的端点，质子在MN间做圆周运动洛伦兹力提供向心力，结合数学知识即可解题．

解答：解：（1）设平行板电容器两端的电压是U，
则由法拉第电磁感应定律可得：U=

△Φ

△t

  ①，
由（乙）图可知：

△Φ

△t

=

B0S

t0

  ②，而S=L²  ③，
由①②③式解得：U=

B0L2

t0

 ④，
质子在M、N间做类平抛运动，由平抛运动规律可得：
在水平方向：

1

2

d=v₀t    ⑤，
在竖直方向：

1

2

d=

1

2

at2  ⑥，
由牛顿第二定律和电场力公式可得：e

U

d

=ma ⑦，
由以上式子解得：v₀=

L

2

eB0 mt0

  ⑧；
（2）质子在M、N板间做匀速直线运动，
它受到电场力和洛仑兹力这一对平衡力作用．
由平衡条件得：evB=e

U

d

  ⑨，
由⑨式解得：B=

B0L2

dvt0

，B的方向垂直纸面向里；
（3）质子恰好没有碰到P板，
质子在磁场中做圆周运动的轨迹与P板相切，
由右图可知：evB=m

v2

R

，
由几何知识知M板右端到P板的距离：S=R，
由以上两式解得S=

mdt0v2

eB0L2

；
答：（1）电压为

B0L2

t0

，初速度为

L

2

eB0 mt0

；
（2）磁感应强度B=

B0L2

dvt0

，方向：垂直纸面向里；
（3）M板右端到P板的距离得S=

mdt0v2

eB0L2

．

点评：本题是带电粒子在复合场中运动的一道综合题，解题时要注意不考虑质子所受重力；应用类平抛运动与圆周运动的知识、平衡条件，可以分析答题．