Question

(15分)如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的1/4圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可作伸缩调节，下圆弧轨道与地面相切，其中D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内，一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道而从D点水平飞出，今在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的压力，计算出压力差ΔF，改变BC的长度L，重复上述实验，最后绘得的ΔF-L图象如图乙所示。(不计一切摩擦阻力，g取10m/s²)

⑴某一次调节后，D点的离地高度为0.8m，小球从D点飞出，落地点与D点的水平距离为2.4m，求小球经过D点时的速度大小；
⑵求小球的质量和弯曲圆弧轨道的半径。

Answer 1

⑴v_D＝6m/s；⑵m＝0.2kg，r＝0.4m

试题分析：⑴设小球经过D点时的速度为v_D，小球从D点离开后做平抛运动，在竖直方向上为自由落体运动，设运动时间为t，根据自由落体运动规律有：h＝         ①
在水平方向上为匀速运动，有：x＝v_Dt         ②
由①②式联立解得：v_D＝＝6m/s
⑵设小球的质量为m，圆轨道的半径为r，在D点时，根据牛顿第二定律有：F_D＋mg＝      ③
在A点时，根据牛顿第二定律有：F_A－mg＝         ④
小球在整个运动过程中机械能守恒，有：mg(2r＋L)＝－           ⑤
由③④⑤式联立解得：ΔF＝F_A－F_D＝2mg＋6mg
即ΔF与L呈一次函数关系，对照ΔF-L图象可知，其纵截距为：b＝6mg＝12N           ⑥
其斜率为：k＝＝10N/m           ⑦
由⑥⑦式联立解得：m＝0.2kg，r＝0.4m