Question

11．如图所示，两平行金属导轨轨道MN、M?N?间距为L，其中MO和M?O?段与金属杆间的动摩擦因数μ=0.4，ON和O?N?段光滑且足够长，两轨道的交接处由很小的圆弧平滑连接，导轨电阻不计，左侧接一阻值为R的电阻和电流传感器，轨道平面与水平面的夹角分别为α=53°和β=37°．区域PQP?Q?内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为d，PP?的高度为h₂=0.3m．现开启电流传感器，同时让质量为m、电阻为r的金属杆ab自高h₁=1.5m处由静止释放，金属杆与导轨垂直且保持接触良好，电流传感器测得初始一段时间内的I-t（电流与时间关系）图象如图乙所示（图中I₀为已知）．求：

（1）金属杆第一次进入磁场区域时的速度大小v₁（重力加速度为g取10m/s²）；
（2）金属杆第一次离开磁场到第二次离开磁场区域时的时间间隔△t的大小（此后重力加速度取g）；
（3）电阻R在t₁-t₃时间内产生的总热能Q_R（用v₁和其他已知条件表示）；
（4）定性画出t₄时刻以后可以出现电流的、且金属杆又回到OO?的这段时间内可能的I-t关系图象．

Answer 1

分析 （1）有动能定理求得进入时的速度，
（2）有图象可知，金属杆第一次离开磁场时刻为t₂，第二次离开磁场区域时的时刻为t₄，而t₂到t₃金属棒做匀减速运动，t₃到t₄金属棒做匀速运动，分别利用运动学公式求解即可；
（3）根据能量守恒定律和串并联电路特点，求解热量
（4）根据牛顿第二定律和运动学知识点，确定金属棒的运动，定性的画出v-t图象；

解答 解：（1）金属杆从静止开始运动到达pp′位置，由动能定理
$mg{h}_{1}-μmg{h}_{1}ctgθ-mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2g（{h}_{1}-{h}_{2}）-2μg{h}_{1}×0.75}$=$\sqrt{15}$m/s
（2）金属杆第一次出磁场的速度为v₂，由图线可知，当金属杆中的电流为I₀时处于平衡状态：
由F_A=BI₀L=mgsinβ得$B=\frac{0.6mg}{{I}_{0}L}$
${I}_{0}=\frac{BL{v}_{2}}{R+r}$，解得：v₂=$\frac{{I}_{0}（R+r）}{BL}$=$\frac{5{I}_{0}^{2}（R+r）}{3mg}$
金属杆第一次出磁场的速度为v₂，加速度a₂=gsinβ，末速度为0，金属杆做匀减速运动，根据匀变速运动规律，可以看成反向匀加速，由：v=v₀-at
根据对称性得：△t₁=t₃-t₂=$2\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{50{I}_{0}^{2}（R+r）}{9m{g}^{2}}$，
进入磁场后，金属杆做匀速运动，穿越磁场的时间△t₂=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{3dmg}{5{I}_{0}^{2}（r+R）}$，
所以时间△t=△t₁+△t₂=$\frac{50{I}_{0}^{2}（R+r）}{9m{g}^{2}}$+$\frac{3dmg}{5{I}_{0}^{2}（r+R）}$，

（3）电阻R在t₁-t₃时间内产生的总热能，由能量守恒得；Q=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-mgdsinβ$
由串并联电路特点得：Q_R=$\frac{R}{R+r}$（$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²-mgdsinβ）=$\frac{mR（{v}_{1}^{2}-\frac{25{I}_{0}^{4}（{R+r）}^{2}}{9{m}^{2}{g}^{2}}）-1.2mgdR}{2（R+r）}$
（4）①t₄之后，冲上MO斜面之后由于摩擦力作用能量损耗，速度减小，穿过磁场又在滑下穿过磁场的情况：

②进入磁场为穿越就减速到零返回的情况：

答：（1）金属杆第一次进入磁场区域时的速度大小v₁为：$\sqrt{15}m/s$
（2）金属杆第一次离开磁场到第二次离开磁场区域时的时间间隔△t的大小为：$\frac{50{I}_{0}^{2}（R+r）}{9m{g}^{2}}$+$\frac{3dmg}{5{I}_{0}^{2}（r+R）}$，

（3）电阻R在t₁-t₃时间内产生的总热能Q_R为$\frac{mR（{v}_{1}^{2}-\frac{25{I}_{0}^{4}（{R+r）}^{2}}{9{m}^{2}{g}^{2}}）-1.2mgdR}{2（R+r）}$；
（4）如图或

点评 本题利用能量守恒和牛顿第二定律及运动学知识，难度较大，注意过程的分界点及过程之间的联系．