Question

【题目】半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有凹槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的动摩擦因数为μ，质量为mB的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的．AB间用一长为l（l＜R）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连．已知圆台做匀速转动，且A、B两物体相对圆台不动（A、B两物体可视为质点，物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）．

（1）当圆台转动的角速度为ω0 ， OA的长度为l1时，试写出A、B两个物体受到的向心力大小的表达式．
（2）不论圆台转动的角速度为多大，要使物体A和槽之间恰好没有摩擦力，则OA的长为多大？
（3）设OA长为x，试分析圆台的角速度ω和物体A到圆心的距离x所应满足的条件．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由向心力公式可得：

A向心力大小的表达式：FA=mAω02l1

B的向心力：FB=mBω02（l﹣l1）

（2）

解：设OA长为l1，则OB为l﹣l1；

F=mAω2l1

F=mBω2（l﹣l1）

解得

（3）

解：当A、B两物体相对转台静止且恰无摩擦时，物体A、B的动力学方程分别为

F=mAω2x，F=mBω2（l﹣x），联立解得

当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做远离轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为

F+μmAg=mAω2x，F=mBω2（l﹣x）

，

当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做向轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为

F﹣μmAg=mAω2x，F=mBω2（l﹣x）

，

综上分析可知

【解析】（1）已知转动角速度，由题意可知两物体的转动半径，由向心力公式可求得向心力大小的表达式；（2）要使A球不受摩擦力，应使绳子的拉力充当两物体的向心力，则两球需要的向心力相等，联立两式可解得距离；（3）可分为两物体恰无摩擦力、A恰好达到最大静摩擦力和B恰好达到最大静摩擦力三种情况分析，由牛顿第二定律可得出角速度及距离的可能值．
【考点精析】通过灵活运用向心力，掌握向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力即可以解答此题．