Question

5．如图所示，板间电压为U的两块平行带电金属板a、b相距为d，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B₁，的匀强磁场．等腰三角形EFG区域内及其边界上存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B₂的匀强磁场，EH=HF=L，θ=30°．一束电荷量为q的相同正离子沿直线穿过金属板间的区域，并垂直EF边从H点射入磁场区域．（不计重力和空气阻力的影响） 
（1）若离子恰好垂直于EG边射出磁场，求离子的质量m；
（2）若改变磁感应强度B₂的大小，求离子在三角形区域EFG中运动的最长时间t．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力和电场力平衡求出粒子进入磁场的速度，根据粒子在磁场中的半径公式，结合几何关系求出粒子的质量．
（2）粒子速率恒定，从进入磁场到打到EH边的圆周轨迹与EG边相切时，路程最长，运动时间最长，根据几何关系，结合运动学公式求出最长时间．

解答 解：（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间以速度v做匀速直线运动，所受到向上的洛伦兹力和向下的电场力平衡，有：
$qv{B}_{1}=q\frac{U}{d}$，
解得：$v=\frac{U}{{B}_{1}d}$．
在三角形磁场区域，离子做匀速圆周运动，设离子的质量为m，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有：
$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
式中R是离子做圆周运动的半径，依题意E点为圆心，有：R=L，
联立各式解得离子的质量为：m=$\frac{qL{B}_{1}{B}_{2}d}{U}$．
（2）粒子速率恒定，从进入磁场到打到EH边的圆周轨迹与EG边相切时，路程最长，运动时间最长，如图所示，设圆周半径为r，由图中几何关系有：
$r+\frac{r}{sinθ}=L$，
解得r=$\frac{1}{3}L$．
最长时间t=$\frac{πr}{v}$，
联立解得t=$\frac{πL{B}_{2}d}{3U}$．
答：（1）粒子的质量为$\frac{qL{B}_{1}{B}_{2}d}{U}$．
（2）离子在三角形区域EFG中运动的最长时间为$\frac{πL{B}_{2}d}{3U}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．