Question

9．2013年6月，我国成功实现目标飞行器“神舟十号”与轨道空间站“天宫一号”的对接．如图所示，已知“神舟十号”从捕获“天宫一号”到实现对接用时t，这段时间内组合体绕地球转过的角度为θ（此过程轨道不变，速度大小不变），地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力恒量G，不考虑地球自转；求：
（1）地球质量M；
（2）组合体运动的周期T；
（3）组合体所在圆轨道离地高度H．

Answer 1

分析 （1）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，由此即可求出地球的质量；
（2）t时间内组合体绕地球转过的角度为θ，结合$ω=\frac{θ}{t}$先求出角速度，然后再求出周期即可
（3）万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，可以解得组合体离地面的高度．

解答 解：（1）因为在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：
$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）设组合体的角速度为ω，周期为T，则：$ω=\frac{θ}{t}$
T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2πt}{θ}$
（3）万有引力提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{（R+H）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（T+H）$
联立解得：H=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{{θ}^{2}}}-R$
答：（1）地球质量M是$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）组合体运动的周期T是$\frac{2πt}{θ}$；
（3）组合体所在圆轨道离地高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{{θ}^{2}}}-R$．

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$和在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$这两个关系，并且要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．