Question

4．在真空中存在正交的匀强电场和匀强磁场，所建坐标系xOy平面与匀强电场平行，与匀强磁场垂直，如图所示．电场强度的方向沿x轴正方向，以图示方向我磁场和电场的正方向，电场强度和磁感应强度分别以图乙、丙所示规律变化，其中电场强度E₀=$\frac{m{v}_{0}}{2q{t}_{0}}$，磁感应强度B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在t=0时刻乙初速度v₀从坐标原点沿y轴正方向开始运动，粒子重力不计，m、q、v₀、t₀，已知，

（1）求t=4t₀时刻粒子的速度v大小；
（2）若在0-6t₀时间内，带电粒子能垂直打在平行x轴放置的挡板MN上的P点，试求带电粒子打击挡板时的位置坐标P及粒子从原点O运动到P的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据粒子只受到洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，结合周期公式，及牛顿第二定律与运动学公式，即可求解；
（2）根据圆周运动的半径公式，结合几何关系，及位移公式，即可求解．

解答 解：（1）只有磁场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设周期为T，则有：
T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀…①

带电粒子在3nt₀～（3n+1）t₀（n=0，1，2…）时间段内只受电场力，且只有电场时粒子的运动连接起来才成为完整的类平抛运动，粒子在t=4t₀时间内受电场力的运动时间t′=2t₀．
设t=4t₀时粒子速度v与v₀成θ角，则有：v_x=at′…②
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$…③
由牛顿第二定律，则有：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$…④
且tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$…⑤
联立②③④⑤代入E₀解得：v=$\sqrt{2}$v₀，θ=45°…⑥
（2）若在0～6t₀时间内，带电粒子垂直打在挡板MN上，则粒子一定是沿逆时针方向做匀速圆周运动时打在挡板MN上，故在4t₀～6t₀时间内打在挡板上，如图所示．轨道半径设为R₂，则有：$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$…⑦
由⑥式可知，粒子速度只需要偏转45⁰角即可垂直打在到挡板上，故偏转时间为：
t″=$\frac{T}{8}$=$\frac{{t}_{0}}{4}$…⑧
粒子从原点O运动到P点所需时间为：t=4t₀+t″=$\frac{17}{4}{t}_{0}$=4.25t₀…⑨
P点横坐标为：x=x₁+R₂（1-cos45°）…⑩
纵坐标为：y=y₁+R₂sin45°…⑪
其中类平抛运动在t′=2t₀时间内的位移我：x₁=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$…⑫
y₁=v₀t′…⑬
联立④⑦⑩⑪⑫⑬解得：x=$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，
y=（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀
则P点坐标为（$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀）．
答：（1）则t=4t₀时刻粒子的速度v大小$\sqrt{2}$v₀；
（2）若在0-6t₀时间内，带电粒子能垂直打在平行x轴放置的挡板MN上的P点，试求带电粒子打击挡板时的位置坐标P（$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀），及粒子从原点O运动到P的时间4.25t₀

点评 考查带电粒子在复合场中的综合应用，掌握匀速圆周运动的周期与半径公式，同时运用牛顿第二定律与运动学公式，注意画出正确的运动轨迹图是解题的关键．