Question

5．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的半有界匀强磁场，磁感应强度为B，虚线为平行于y轴的磁场左边界．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴上y=h处的M点，以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上x=2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向从Q点（图中未画出）射出磁场．不计粒子重力．求：
（1）电场强度E的大小和粒子射入磁场时速度v的大小和方向；
（2）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t；
（3）Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小，根据动能定理求出粒子进入磁场时的速度大小，通过平行四边形定则求出速度的方向．
（2）根据运动学公式求出粒子在电场中做类平抛运动的时间，结合粒子在磁场中运动的周期公式，通过圆心角求出在磁场中运动的时间，从而得出总时间．
（3）根据半径公式求出粒子在磁场中做圆周运动的半径，结合几何关系求出Q点的坐标．

解答 解：（1）粒子运动的轨迹如图所示
粒子在电场中x，y方向的运动：2h=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
根据牛顿第二定律：Eq=ma，
得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$．
根据动能定理：$qE=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2}{v}_{0}$．
$cosα=\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：α=45°．
（2）设粒子在电场中运动的时间为t₁，则有：${t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$，
粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
设粒子射入磁场时与x轴成α角，在磁场中运动的圆弧所对圆心角为β，由几何关系得：
β=135°                            
所以粒子在磁场中运动的时间为：${t_2}=\frac{3}{8}T$，
总时间为：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2h}{{v}_{0}}+\frac{3πm}{4qB}$．
（3）根据$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$．
y=r+rsin45°=$\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$，
x=2h-rcos45°=$2h-\frac{m{v}_{0}}{qB}$．
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；粒子射入磁场时速度v的大小为$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向与x轴成45度角．
（2）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t为$\frac{2h}{{v}_{0}}+\frac{3πm}{4qB}$．
（3）Q点的坐标为为（$2h-\frac{m{v}_{0}}{qB}$，-$\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$）

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．