Question

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变

弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g。求：

质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁;弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p;已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO’在角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

Answer 1

解析：此题考查平抛运动规律、牛顿运动定律、竖直面内的圆周运动、机械能守恒定律等知识点。

（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则

mg=m，①

解得 v₁=_.  ②

(2) 弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有

E_p=mg(1.5R+R)+m v₁²，③

由②③式解得E_p=3mgR。④

（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动。设经过t时间落到水面上，离OO’的水平距离为x₁，由平抛运动规律有

4.5R=gt²，⑤

x₁=v₁t+R，⑥

由⑤⑥式解得x₁=4R.  ⑦

当鱼饵的质量为2m/3时，设其到达管口C时速度大小为v₂，由机械能守恒定律有

E_p=mg(1.5R+R)+(m) v₂²，⑧

由④⑧式解得v₂=2_.  ⑨

质量为2m/3的鱼饵落到水面上时，设离OO’的水平距离为x₂，则x₂=v₂t+R，⑩

由⑤⑨⑩式解得x₂=7R.

鱼饵能够落到水面的最大面积S，S=(πx₂²-πx₁²)= πR²（或8.25πR²）。