Question

4．如图所示，在竖直虚线MN的左侧有竖直向下的匀强电场，在竖直虚线MN和PQ之间有垂直于纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小为B₁（未知），在虚线PQ的右侧也有垂直于纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小为B₂（未知）．从电场中的A点以速度v₀水平向右射出一个质量为m，电荷量大小为q的带正电的粒子，结果粒子从MN线上的C点（未画出）进入磁场B₁，并恰好垂直PQ从PQ线上的D点（未画出）进入磁场B₂中，一段时间后粒子又回到C点．已知A到MN的距离为d，MN和PQ的间距也为d，电场强度的大小为E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qd}$，不计粒子的重力，求：
（1）磁感应强度B₁和B₂的大小；
（2）粒子从C点进入磁场开始计时到再次回到C点所用的时间为多少？

Answer 1

分析 （1）分析可知粒子以垂直电场线方向的初速度在电场中做类平抛运动，运用牛顿第二定律、运动的合成和分解以及运动学规律联立即可求出进入磁场时的速度大小和方向，进入磁场B₁和B₂后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求出半径公式r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$以及r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$，再联立几何关系即可；
（2）根据周期公式结合粒子转过的圆心角分别求其在两个磁场中的运动时间，加和即可求出粒子从C点进入磁场开始计时到再次回到C点所用的时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，对运动进行分解，
根据运动学规律有：d=v₀t₁    v_y=at₁
牛顿第二定律：Eq=ma
根据已知：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qd}$
求得：v_y=v₀
因此粒子进入左侧磁场时速度大小为v=$\sqrt{2}$v₀，方向与MN夹角45°
粒子在左侧磁场中做匀速圆周运动，且垂直PQ进入右侧磁场，在右侧磁场中仍做圆周运动，
运动的轨迹为半圆，并垂直PQ再次进入左侧磁场回到C点，粒子的运动轨迹如图所示，

在磁场B₁中：由几何关系可知，粒子在左侧磁场中做圆周运动的半径：r₁=$\sqrt{2}$d
根据牛顿第二定律：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
求得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$
在磁场B₂中：根据对称性可知，粒子在右侧磁场中做圆周运动的半径：r₂=r₁-d=（$\sqrt{2}$-1）d
根据牛顿第二定律：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
求得：B₂=$\frac{（2+\sqrt{2}）{mv}_{0}}{qd}$
（2）粒子在左侧磁场中运动的时间为：t₁=$2×\frac{1}{8}×\frac{2πm}{{qB}_{1}}$=$\frac{πd}{2{v}_{0}}$
粒子在右侧磁场中运动的时间：t₂=$\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{πd}{（2+\sqrt{2}）{v}_{0}}$
则粒子从C点进入磁场开始计时到再次回到C点所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{（2\sqrt{2}+1）πd}{（2\sqrt{2}+2）{v}_{0}}$=$\frac{（3-\sqrt{2}）πd}{2{v}_{0}}$
答：（1）磁感应强度B₁大小为$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，B₂的大小为$\frac{（2+\sqrt{2}）{mv}_{0}}{qd}$；
（2）粒子从C点进入磁场开始计时到再次回到C点所用的时间为$\frac{（3-\sqrt{2}）πd}{2{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中运动的问题，带点粒子在电场作用下做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，要注意分析好由电场进入磁场以及从磁场B₁进入磁场B₂时衔接点的速度．