Question

神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道．已知地球半径R=6.37×10³km，地面处的重力加速度g=10m/s²．试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留两位有效数字）．

Answer 1

分析：在地球表面，重力和万有引力相等，神舟五号飞船轨道上，万有引力提供飞船做圆周运动的向心力．

解答：解析：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，地球的半径为R，神舟五号飞船圆轨道的半径为r，飞船轨道距地面的高度为h，则据题意有：
r=R+h
因为在地面重力和万有引力相等，则有
 g=G

M

R2

即：GM=gR²
飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：
G

mM

r2

=mr(

2π

T

)2
得：T=

2π

GM (R+h)3

=2π

(R+h)3 gR2

代入h=342km=3.42×10⁵m，R=6.37×10⁶m，g=10m/s²可得
T=5.4×10³s
答：飞船在圆轨道上运行的周期公式为T=2π

(R+h)3 gR2

，飞船在圆轨道上运行的周期为T=5.4×10³s．

点评：万有引力的应用两点注意：（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．
注意轨道半径和距地面距离的关系．