Question

16．卫星A在地球的赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，运动的周期与地球的自转周期T₀相同；卫星B绕地球的表面附近做匀速圆周运动；物体C位于地球的赤道上，相对地面静止，地球的半径为R．则有（　　）

• A． 卫星A与卫星B的线速度之比是$\frac{R}{r}$
• B． 卫星A与物体C的向心加速度之比是$\frac{r}{R}$
• C． 卫星B与物体C的向心加速度之比是1
• D． 地球表面的重力加速度是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{R}^{2}}$

Answer 1

分析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律求出线速度、向心加速度、重力加速度，然后答题．

解答 解：A、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，卫星A与卫星B的线速度之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}$=$\sqrt{\frac{R}{r}}$，故A错误；
B、卫星A的周期与地球自转的周期相同，C位移赤道上相对地面静止，则A、C的周期相等，角速度ω相同，卫星A与物体C的向心加速度之比：$\frac{{a}_{A}}{{a}_{C}}$=$\frac{{ω}^{2}r}{{ω}^{2}R}$=$\frac{r}{R}$，故B正确；
C、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，由于A的轨道半径r大于B的轨道半径R，则T_A=T₀＞T_B，由于T_A=T_C=T₀，则T_C＞T_B，ω=$\frac{2π}{T}$，则：ω_B＞ω_C，B、C的轨道半径R相等，则卫星B与物体C的向心加速度之比：$\frac{{a}_{B}}{{a}_{C}}$=$\frac{{ω}_{B}^{2}R}{{ω}_{C}^{2}R}$＞1，故C错误；
D、万有引力提供向心力，对卫星A，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}$r，地球表面的物体受到的重力等于物体受到的万有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}_{0}^{2}{R}^{2}}$，故D正确；
故选：BD．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力是解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．