Question

5．水平固定的两根足够长的平行光滑杆MN、PQ，两者之间的间距为L，两光滑杆上分别穿有一个质量分别为M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，两小球之间用一根自然长度也为L的轻质橡皮绳相连接，开始时两小球处于静止状态，轻质橡皮绳处于自然伸长状态，如图（a）所示．现给小球A一沿杆向右的水平瞬时冲量，以向右为速度正方向，得到A球的速度-时间图象如图（b）所示．（以小球A获得瞬时冲量开始计时，以后的运动中橡皮绳的伸长均不超过其弹性限度．）

（1）求B球速度的最大值．
（2）在图（b）中定性画出B球的速度-时间图象（不用写分析过程，直接画图．A、B图象如有交点，需用虚线将交点的速度值在纵坐标轴上指示出来）
（3）若在A、B两小球已经运动的过程中，有另一穿在杆上的质量为M_C=0.1kg的小球C，以4m/s的速度从A的左侧运动过来遇到小球A，并与A结合在一起运动．试求出这以后橡皮绳最大弹性势能的取值范围．

Answer 1

分析 （1）两小球组成系统动量守恒，当根据A球速度大小范围求得B球的最大速度；
（2）根据动量守恒定律求出2的几个速度值，描点连成光滑曲线即可；
（3）A和B球碰撞后，根据系统动量守恒定律，能量守恒定律求解．

解答 解：（1）A、B两小球在水平方向不受外力，动量守恒，
M_AV_A=M_Av_A’+M_Bv_B 
由分析可知，当v_A=-2m/s时，B球速度最大．
解得B球的最大速度：v_B=4m/s 
（2）A、B两小球在水平方向不受外力，动量守恒，
M_Av_A=M_Av_A’+M_Bv_B
${v}_{B}=\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}（{v}_{A}-{v}_{A}^{′}）$=$\frac{1}{2}（{v}_{A}-{v}_{A}^{′}）$
当${v}_{A}^{′}$=6m/s时，v_B=0
当${v}_{A}^{′}$=0时，v_B=3m/s
当${v}_{A}^{′}$=-2m/s时，v_B=4m/s
据此可得B的速度-时间图象如右图所示；
（3）因A、B、C三小球水平方向系统不受外力，故动量守恒．
由此可得：不论A、C两球何时何处相互作用，三球相互作用的过程中三球具有的共同速度是一个定值，即三球速度相同时的总动能是一定值．
M_Av_A+M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共  
代入数据解得：v_共=2.5m/s
当三球速度相同时橡皮绳子弹性势能最大，所以当A球在运动过程中速度减为4m/s与C球同向时，C球与之相碰时系统损失能量最小（为0），此情况下三球在运动过程中橡皮绳具有的最大弹性势能为E_PM1
E_PM1=$\frac{1}{2}$M_Av_A²+$\frac{1}{2}$M_Cv_C²-$\frac{1}{2}$（M_A+M_B+M_C）v_共²=1.35J    
当A球在运动过程中速度为2m/s与C球反向时，C球与之相碰时系统损失能量最大，此情况下三球运动的过程中橡皮绳具有的最大弹性势能为E_PM2
M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v₃
代入数据解得：v₃=1m/s
E_PM2=$\frac{1}{2}$（M_A+M_C）v₃²+$\frac{1}{2}$M_Bv_B²-$\frac{1}{2}$（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.45J
由上可得：橡皮绳具有的最大弹性势能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范围内．
答：（1）求B球速度的最大值为4m/s；
（2）如上图所示；
（3）若在A、B两小球已经运动的过程中，有另一穿在杆上的质量为M_C=0.1kg的小球C，以4m/s的速度从A的左侧运动过来遇到小球A，并与A结合在一起运动．这以后橡皮绳最大弹性势能的取值范围为0.45J-1.35J．

点评 本题主要考查了动量守恒定律，能量守恒定律的应用，解题的关键是分析小球的运动情况，知道什么时候弹性势能最大，过程较为复杂，难度较大，属于难题．