Question

10．某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统演化过程中，两星的总质量，距离和周期均可能发生变化，根据大爆炸宇宙学科可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道仍近似为圆，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的1.2倍，两星之间的距离变为原来的1.8倍，求此时做圆周运动的周期．（$\sqrt{4.86}$=2.2）

Answer 1

分析 抓住双星模型转动的周期相等，根据万有引力提供向心力求出周期与总质量和两星之间距离的关系，从而得出周期的变化．

解答 解：对恒星m₁：$G\frac{{{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{r_1}$
对恒星m₂：$G\frac{{{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_2}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{r_2}$
距离关系有：L=r₁+r₂，
由以上三式得：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{L^3}}}{{G{M_总}}}}$
设经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为：
T′=2π$\sqrt{\frac{（nL）^{3}}{G（kM）}}$=$\sqrt{\frac{n^3}{k}}$T．
将k=1.2，n=1.8代入上式得：T′=$\sqrt{\frac{1．{8}^{3}}{1.2}}T$=$\sqrt{4.86}T$≈2.2T
答：此时圆周运动的周期为2.2T．

点评 解决本题的关键知道双星模型靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，周期相等，结合万有引力提供向心力进行求解．