Question

5．为了探测Z星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，线速度为v₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，则下列正确的（　　）

• A． Z星球的质量为M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{2}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陆舱的圆轨道r₁=$\frac{{v}_{1}{T}_{1}}{2π}$
• C． 登陆舱在r₁与r₂轨道上运动是的速度大小之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}}$
• D． 登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合登陆舱的轨道半径和周期求出Z星球的质量．根据登陆舱的线速度和周期求出登陆舱的圆轨道半径．根据万有引力提供向心力，得出线速度和周期之比，结合周期之比求出登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期．

解答 解：A、探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，根据$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，Z星球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A错误．
B、登陆舱的圆轨道半径${r}_{1}=\frac{{v}_{1}{T}_{1}}{2π}$，故B正确．
C、根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，则登陆舱在r₁与r₂轨道上运动是的速度大小之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故C错误．
D、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，则登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期与T₁之比为$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，则${T}_{2}={T}_{1}\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故D错误．
故选：B．

点评 解决本题的关键知道登陆舱做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，求解时注意轨道半径和周期、线速度要对应．