Question

14．若登月宇航员进行以下测量：
①当飞船沿贴近月球表面的圆形轨道环绕时，测得环绕周期为T；
②登月舱在月球表面着陆后，宇航员在距月球地面高h处让一小球自由下落，测得小球经过时间t后落地，已知万有引力常量G，h远小于月球半径． 试根据以上测得的量，求：
（1）月球表面的重力加速度g_月的大小
（2）月球的半径R．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体的高度和时间求得月球表面的重力加速度；
（2）月球表面重力与万有引力相等和万有引力提供近月飞船向心力由飞船周期和重力加速度求出月球的半径R．

解答 解：（1）由题意知，在月球表面h处自由下落的物体经t时间落回地面，由自由落体运动规律有
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得月球表面的重力加速度g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$      
（2）质量为m的飞船在近月面轨道环行时，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$    ①
质量为m的物体在月球表面受到的重力为：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$             ②
代入g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$由①②两式解得：
R=$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月的大小为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的半径R为$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$．

点评 解决本题的关键是抓住星球表面的重力与万有引力相等，同时万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，这是万有引力应用的两个解决问题的主要入手点．