Question

如图所示，足够长的U型金属框架放置在绝缘斜面上，斜面倾角30°，框架的宽度l=1.0m、质量M=1.0kg．导体棒ab垂直放在框架上，且可以无摩擦的运动．设不同质量的导体棒ab放置时，框架与斜面间的最大静摩擦力均为F_max=7N．导体棒ab电阻R=0.02Ω，其余电阻一切不计．边界相距d的两个范围足够大的磁场Ⅰ、Ⅱ，方向相反且均垂直于金属框架，磁感应强度均为B=0.2T．导体棒ab从静止开始释放沿框架向下运动，当导体棒运动到即将离开Ⅰ区域时，框架与斜面间摩擦力第一次达到最大值；导体棒ab继续运动，当它刚刚进入Ⅱ区域时，框架与斜面间摩擦力第二次达到最大值．（g=10m/s²）．求：
（1）磁场Ⅰ、Ⅱ边界间的距离d；
（2）欲使框架一直静止不动，导体棒ab的质量应该满足的条件；
（3）质量为1.6kg的导体棒ab在运动的全过程中，金属框架受到的最小摩擦力．

Answer 1

分析：（1）导体棒即将离开Ⅰ时，金属框受到的安培力沿斜面向下，框架与斜面间摩擦力第一次达到最大值，根据平衡条件求出静摩擦力的最大值．根据安培力的表达式求出此时的速度．导体棒刚进入Ⅱ时，金属框受到的安培力沿斜面向上，根据平衡条件求出此时金属框受到的静摩擦力最大值．再由安培力表达式求出此时的速度．导体棒在两磁场边界之间做匀加速运动，由牛顿第二定律求出加速度，根据速度位移关系公式求出d．
（2）导体棒在磁场Ⅰ中已经达到最大速度做匀速运动时，根据平衡条件求出棒的质量的最小值．欲使金属框架不动，导体棒刚进入Ⅱ后电流不再增大，也做匀速运动，再由平衡条件求出棒的质量的最大值．再求出导体棒ab的质量范围．
（3）分别根据牛顿第二定律和安培力的表达式求出棒在区域Ⅰ、无场区和区域Ⅱ时摩擦力的范围，再求解摩擦力的最小值．

解答：解：
（1）导体棒即将离开Ⅰ时，金属框受到的安培力沿斜面向下，对金属框由平衡条件得
     f_max=Mgsin30°+F_A1max
解得，F_A1max=2N
导体棒受安培力：F_A1max=

B2L2v1

R

，解得υ₁=1m/s
导体棒刚进入Ⅱ时，金属框受到的安培力沿斜面向上，对金属框由平衡条件得
  f_max′=F_A2max-Mgsin30°
解得，F_A2max=12N
导体棒受安培力：F_A2max=

B2L2v2

R

代入解得，υ₂=6m/s
导体棒在两磁场边界之间运动时，mgsin30°=ma，
解得，a=5m/s²
则有d=

v 2 2 - v 2 1

2a

=3.5m
（2）导体棒离开Ⅰ之前，速度至少要达到υ₁=1m/s．设此时导体棒在磁场Ⅰ中已经达到最大速度做匀速运动，
由平衡条件得：m₁gsin30°=F_A1max，求得m₁=0.4kg
欲使金属框架不动，导体棒刚进入Ⅱ后电流不再增大，做匀速运动．由平衡条件得：
m₂gsin30°=F_A2max，求得m₂=2.4kg
即导体棒的质量应为：0.4kg＜m＜2.4kg
（3）导体棒在磁场Ⅰ中运动时，由牛顿第二定律得：mgsin30°-F_A1=ma
  其中，FA1=

B2L2υ

R

导体棒做加速度减小的加速运动，最大速度为1m/s．安培力在逐渐增大，最小值是0，最大值为2N．    
此过程中对金属棒，由平衡条件得f=Mgsin30°+F_A1′
F_A1′=F_A1
可知金属框与斜面的摩擦力范围为：5N～7N．    
导体棒在无场区时，金属框与斜面的摩擦力恒为5N．
导体棒在磁场Ⅱ中运动时，由牛顿第二定律得：F_A2-mgsin30°=ma
又FA2=

B2L2υ

R

导体棒做加速度减小的减速运动，最大速度为6m/s．当a=0时，速度最小，以后做匀速运动，此时速度为4m/s．安培力在逐渐减小，最小值是8N，最大值为12N．                                      
此过程中对金属棒，由平衡条件得：f′=F_A2-Mgsin30°，F_A2′=F_A2
可知金属框与斜面的摩擦力范围为：3N～7N．  
综上所述，金属框受到的最小摩擦力为3N．      
答：
（1）磁场Ⅰ、Ⅱ边界间的距离d=3.5m；
（2）欲使框架一直静止不动，导体棒ab的质量应该满足的条件是0.4kg＜m＜2.4kg；
（3）质量为1.6kg的导体棒ab在运动的全过程中，金属框架受到的最小摩擦力为3N．

点评：本题分析物体的受力至关重要，安培力的经验公式FA1=

B2L2υ

R

经常用到，在推导的基础上记住，对分析导体的运动作用很大．