Question

7．两根足够长的平行金属导轨制成如图所示的形状固定在倾角相同的两个斜面上，倾角θ=30°，导轨电阻不计，间距L=0.4m．左斜面中的匀强磁场方向垂直左斜面向上，右斜面中的匀强磁场方向垂直右斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B=0.5T．在右斜面中，将质量m₁=0.1kg、电阻R₁=0.1Ω的金属棒ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在左斜面中将质量m₂=0.4kg、电阻R₂=0.1Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于左斜面的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g=10m/s²．求：
（1）ab刚要向上滑动时，cd棒速度v的大小；
（2）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x=4m，此过程中ab棒上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）由ab棒最开始静止求得最大静摩擦力，进而得到将要运动时的安培力，然后根据安培力的定义式求解得到最大速度；
（2）根据动能定理得到总产热，然后由闭合电路的焦耳定律求得ab棒的产热．

解答 解：（1）开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F_max，则有：
${F}_{max}={m}_{1}gsinθ=0.1×10×\frac{1}{2}N=\frac{1}{2}N$；
设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有：
E=BLv；
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有：
$I=\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}=\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
设ab所受安培力为F_安，有：${F}_{安}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}}$； 
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有：
F_安=m₁gsinθ+F_max=1N
解得：$v=\frac{{F}_{安}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}^{2}{L}^{2}}=\frac{1×（0.1+0.1）}{0．{5}^{2}×0．{4}^{2}}m/s=5m/s$；
（2）设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q_总，由能量守恒有：
${Q}_{总}={m}_{2}gxsinθ-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}=0.4×10×4×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×0.4×{5}^{2}（J）=3J$；
由闭合电路的焦耳定律可知：此过程中ab棒上产生的热量为：
$Q=\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}{Q}_{总}=1.5J$；
答：（1）ab刚要向上滑动时，cd棒速度v的大小为5m/s；
（2）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x=4m，此过程中ab棒上产生的热量Q为1.5J．

点评 在闭合电路切割磁感线的问题中，一般由运动速度求得电动势，然后根据闭合电路的欧姆定律求得电流，进而得到安培力；就可由动能定理得到克服安培力做的功即闭合电路产生的焦耳热．