Question

3．儿童智力拼装玩具“云霄飞车”的部分轨道简化为如图模型：光滑水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点，质量为m的小球A静止于P点，小球半径远小于R．与A相同的小球B以速度v₀向右运动，A、B碰后粘连在一起．求当v₀的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？已知重力加速度为g．

Answer 1

分析 若不能经过最高点又不会脱离圆弧轨道，A、B最高只能运动到与圆心等高的地方，根据机械能守恒定律求出A球碰后的速度，由动量守恒定律求出B的初速度；
若经过最高点，根据牛顿第二定律求出A球在最高点的速度，根据机械能守恒定律求出A球碰后的速度，由动量守恒定律求出B的初速度．

解答 解：设A、B碰撞后的速度为v₁，恰好运动到圆弧最高点时的速度为v₂
对A、B，碰撞过程中动量守恒，选取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=2m•v₁
欲使A、B运动时不脱离圆弧轨道，有两种可能：
（1）当v₀较小时，A、B最高只能运动到与圆心等高的地方
对A、B，从碰后到与圆心等高的地方，由动能定理有：$-2mgR=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
联立得v₀=$2\sqrt{2gR}$
（2）当v₀较大时，A、B能够做完整的圆周运动．讨论A、B恰好做完整圆周运动时的情形，对A、B，从碰后运动到圆周最高点的过程中，由动能定理：
$-2mg•2R=\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
在最高点时，由牛顿第二定律得：$2mg=2m•\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立得：v₀=$2\sqrt{5gR}$
综上所述，当${v}_{0}≤2\sqrt{2gR}$或${v}_{0}≥2\sqrt{5gR}$时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．   
答：当${v}_{0}≤2\sqrt{2gR}$或${v}_{0}≥2\sqrt{5gR}$时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．

点评 本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、圆周运动等规律，综合性较强，需在平时的学习中加强训练，同时要注意等于运动的过程的分析．