Question

（2007?徐州三模）如图，在空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域I和II，直线OP是它们的边界，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域II中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，边界上的P点坐标为（4L，3L）．一质量为m电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）粒子从P点运动到O点的时间为多少？
（2）粒子的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由题：粒子从P进入磁场Ⅰ后恰好经过原点O，必定返回磁场，才能经过原点O，画出轨迹．所以粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场II区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．根据牛顿第二定律和圆周运动知识求出轨迹半径和周期．根据几何关系求出粒子在两个磁场中偏转的角度，即可由t=

θ

2π

求出时间；
（2）粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O．这样粒子经过n个周期性的运动到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移S=

OP

n

（n=1，2，3，…）．根据S与两个半径的关系，求出半径，即可求解速度．

解答：解：（1）设粒子的入射速度为v，用R₁，R₂，T₁，T₂分别表示粒子在磁场I区和II区中运动的轨道半径和周期．则
  qvB=m

v2

R1

  qv2B=m

v2

R2

 周期分别为 T1=

2πR1

v

=

2πm

qB

，T2=

2πR2

v

=

πm

qB

粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场II区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．
粒子运动轨迹如图所示．tanα=

3L

4L

=0.75
得α=37°，α+β=90°
粒子在磁场I区和II区中的运动时间分别为t1=

2β

360°

?T1，t2=

2β

360°

?T2
粒子从P点运动到O点的时间至少为t=n（t₁+t₂ ） （n=1，2，3，…）
由以上各式解得t=n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O．这样粒子经过n个周期性的运动到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为S=

OP

n

=

(4L)2+(3L)2

n

=

5L

n

（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁场I区中运动的位移为S1=

R1

R1+R2

S=

2

3

S
由图中几何关系可知

S1 2

R1

=cosα
由以上各式解得粒子的速度大小为v=

25qBL

12nm

（n=1、2，3，…）  
答：
（1）粒子从P点运动到O点的时间为n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小是

25qBL

12nm

，（n=1、2，3，…）

点评：本题在复合场中做周期性运动的类型，关键要运用数学知识分析粒子的规律，得到粒子在一个周期内位移的通项，综合性较强，难度很大．