Question

如图（a）所示，平行金属板A和B间的距离为d，左侧有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场中心与两金属板的中心线在一条直线上．在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U₀，反向值也为U₀．现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，沿与水平成60°方向正对磁场圆心，以速度v₀=

3 qU0T

3dm

 射入，带电粒子恰好水平射出磁场区，并进入电场．所有粒子在AB间电场区的飞行时间均为T．（不计重力影响）．求：
（1）磁感应强度．
（2）t=0时刻进入电场的粒子，飞出电场时的速度大小和方向．
（3）粒子飞出电场时的位置离O′点的距离范围．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，根据几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度；
（2）t=0时刻进入电场的粒子，在三个

T

3

时间内都做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，根据对称性可知，在t=

2

3

T时刻粒子的速度与射入电场时相同．根据牛顿第二定律求得粒子的加速度，由速度公式求出粒子沿电场线方向的速度大小，根据速度的合成求得飞出电场时的速度大小和方向．
（3）根据运动的对称性可知，在t=

T

3

+nT时刻进入电场，向上侧移最大；在t=

2

3

T+nT时刻进入电场，向下侧移最大；根据位移公式求出侧移，即可粒子飞出电场时的位置离O′点的距离范围．

解答：解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由题意分析可知粒子速度的偏向角为60°，由几何知识得：半径为r=Rtan60°
根据：qv₀B=m

v 2 0

r

得：B=

mv0

qr

又：v₀=

3 qU0T

3dm

，联立解得：B=

U0T

3dR

（2）粒子在电场中的加速度为：a=

qU0

dm

打出电场的粒子都是相同的，在沿电场线方向的速度大小为
   v_y=a?

T

3

=

qU0T

3dm

则v=

v 2 0 + v 2 y

=

2U0qT

3dm

设速度方向与v₀的夹角为θ，则tanθ=

vy

v0

=

1

3

∴θ=30°
（3）当粒子在t=

T

3

+nT时刻进入电场，向上侧移最大，则：
y₁=

1

2

a(

T

3

)2=

qU0T2

18dm

在t=

2

3

T+nT时刻进入电场，向下侧移最大，则：
y₂=

1

2

a(

2T

3

)2+a（

2T

3

）?

T

3

-

1

2

a(

T

3

)2=

7qU0T2

18dm

所以粒子飞出电场时的位置离O′点范围为：距离O′上方

qU0T2

18dm

至距离O′下方

7qU0T2

18dm

之间．
答：
（1）磁感应强度是

U0T

2dR

．
（2）t=0时刻进入电场的粒子，飞出电场时的速度大小是

2U0qT

3dm

，速度方向与v₀的夹角为30°．
（3）粒子飞出电场时的位置离O′点的距离范围距离O′上方

qU0T2

18dm

至距离O′下方

7qU0T2

18dm

之间．

点评：本题的解题关键是磁场中运用几何知识求出半径；在电场中运用运动的分解法，研究类平抛运动，抓住对称性分析．