Question

20．已知地球半径为R，地球、月球球心之间的距离为r，月球公转的周期为T₁，地球自转周期为T₂，在地球表面附近运行的人造卫星周期为T₃，万有引力常量为G，由以上条件可知（　　）

• A． 地球的质量为M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
• B． 地球的密度为ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{3}{{T}_{1}}^{2}}$
• C． 地球表面重力加速度为g=$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{1}}^{2}}$
• D． 月球运动的向心加速度为$a=\frac{{4{π^2}r}}{T_1^2}$

Answer 1

分析 研究月球绕地球圆周运动，利用万有引力提供向心力可求出地球的质量．
研究在地球表面附近运行的人造卫星，利用万有引力提供向心力可表示出地球的质量，从而求出密度．

解答 解：A、研究月球绕地球圆周运动，利用万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}=ma$…①
M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故A错误．
B、地球的密度为：ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}^{3}}$，故B错误．
C、地球表面附近运行的人造卫星，利用万有引力等于重力，有：$\frac{m′•4{π}^{2}R}{{T}_{3}^{2}}=m′g$
g=$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{3}}^{2}}$…②，故C错误．
D、由①得月球运动的加速度为：$a=\frac{4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}$．故D正确．
故选：D．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，注意不同的圆周运动对应不同的轨道半径和周期．
运用黄金代换式GM=gR²求出问题是考试中常见的方法．