Question

18．（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M_太．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×10⁸ m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶ s，试计算地球的质量M_地．（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，结果保留一位有效数字）

Answer 1

分析 （1）行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k应改为$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；
（2）根据（1）中得到的关系式，带入数据即可求得地球的质量．

解答 解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有
    G$\frac{{m}_{行}{M}_{太}}{{r}^{2}}$=m_行${（\frac{2π}{T}）}^{2}$r                ①
于是有       $\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太                    ②
即          k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太                         ③
（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得
          $\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_地            ④
代入数据解得      M_地=6×10²⁴kg                         ⑤
答：（1）太阳系中该常量k的表达式为 k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太；
（2）地球的质量为6×10²⁴kg．

点评 本题就是考察学生对开普勒行星运动第三定律的理解和应用，掌握住开普勒行星运动第三定律和万有引力定律即可求得结果，式中的常量k必须是相对于同一个中心天体来说的．