Question

11．如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，一根长为l的不可伸长的细绳，一端固定在拉力传感器A上，另一端系一质量为m的小球．x轴上的P点固定一个表面光滑的小钉，P点与传感器A相距$\frac{3l}{4}$．现拉小球使细绳绷直并处在水平位置，然后由静止释放小球，当细绳碰到钉子后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动．已知重力加速度大小为g，求：
（1）若小球经过最低点时拉力传感器的示数为7mg，求此时小球的速度大小；
（2）传感器A与坐标原点O之间的距离；
（3）若小球经过最低点时绳子恰好断开，请确定小球经过y轴的位置．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求的速度；
（2）有机械能守恒求的距离
（3）小球从最低点做平抛运动即可求得

解答 解：（1）小球在最低点由牛顿第二定律得F-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
由题意可知R=$\frac{1}{4}l$
联立解得v=$\frac{\sqrt{6gl}}{2}$
（2）有机械能守恒得$mg（h+\frac{l}{4}）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得h=$\frac{l}{2}$
（3）$x=\sqrt{（\frac{3l}{4}）^{2}-（\frac{l}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{4}l$
断开后做平抛运动，故x=vt
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得$y=\frac{5}{48}l$
小球离开y轴时的纵坐标为-（$\frac{5}{48}l$+$\frac{1}{4}$l）=-$\frac{17}{48}$l
即小球离开y轴的坐标为（0，-$\frac{17}{48}$l）
答：
（1）若小球经过最低点时拉力传感器的示数为7mg，此时小球的速度大小$\frac{\sqrt{6gl}}{2}$；
（2）传感器A与坐标原点O之间的距离$\frac{l}{2}$；
（3）若小球经过最低点时绳子恰好断开，小球经过y轴的位置（0，-$\frac{17}{48}$l）．

点评 小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球到达最帝点时，重力和拉力提供向心力．