[题目]如图所示.两根相距为L的光滑金属导轨CD.EF固定在水平面内.并处在方向竖直向下的匀强磁场中.导轨足够长且电阻不计.在导轨的左端接入一阻值为R的定值电阻.将质量为m.电阻可忽略不计的金属棒MN垂直放置在导轨上.t=0时刻.MN棒与DE的距离为d.MN棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好.不计空气阻力.(1)金属棒MN以恒定速度v向右运动过程中①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图所示，两根相距为L的光滑金属导轨CD、EF固定在水平面内，并处在方向竖直向下的匀强磁场中，导轨足够长且电阻不计。在导轨的左端接入一阻值为R的定值电阻，将质量为m、电阻可忽略不计的金属棒MN垂直放置在导轨上。t=0时刻，MN棒与DE的距离为d，MN棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力。

（1）金属棒MN以恒定速度v向右运动过程中

①若从t=0时刻起，所加的匀强磁场的磁感应强度B从B0开始逐渐减小时，恰好使回路中不产生感应电流，试从磁通量的角度分析磁感应强度B的大小随时间t的变化规律；

②若所加匀强磁场的磁感应强度为B且保持不变，试从磁通量变化、电动势的定义、自由电子的受力和运动、或功能关系等角度入手，选用两种方法推导MN棒中产生的感应电动势E的大小；

（2）为使回路DENM中产生正弦（或余弦）交变电流，请你展开“智慧的翅膀”，提出一种可行的设计方案，自设必要的物理量及符号，写出感应电动势瞬时值的表达式。

【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析。

【解析】（1）①由产生感应电流的条件可知，回路中不产生感应电流，

则穿过回路的磁通量不变，

根据磁通量不变，应有 B0Ld = BL（d+vt）

解得 B=

②方法一：由法拉第电磁感应定律推导

经过时间Δt闭合回路的磁通量变化为Δφ=BLvΔt

根据法拉第电磁感应定律=BLv

方法二：利用电动势的定义推导

电动势定义为非静电力把单位电荷量的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功，对应着其他形式的能转化为电势能的大小。这里的非静电力为洛伦兹力（沿MN棒上的分力），洛伦兹力（沿MN棒上的分力）做正功，即：W非=（Bev）L

方法三：由导体棒中自由电子受力平衡推导

导体棒内的自由电子随导体棒向右匀速运动的速度为v，受到的洛伦兹力大小为f=evB，方向向下，电子在棒下端聚焦，棒下端带负电，棒的上端由于缺少电子而带正电，MN间产生电压，且电压随着自由电子向下移动而逐渐升高。

设MN间产生电压为U，则MN中的电场强度

导体棒中的自由电子将受到向上的电场力F=E0e=eU/L

当F=f时，自由电子在沿导体棒MN的方向的受力达到平衡，由

可得稳定电压为U=BLv

在内电阻为0时，路端电压等于电动势，因此动生电动势大小为E=BLv

方法四：由能量守恒推导

当导体棒匀速运动时，其受到向右的恒定拉力和向左的安培力平衡，

则F外=BIL

拉力做功的功率：P外=F外v=BILv

闭合电路消耗的总功率： P电=EI

根据能量的转化和守恒可知：P外= P电

可得到：E=BLv

（2）方案1：B不变化，金属棒以初始位置为中心做简谐运动，

即v=vmsint，

则根据法拉第电磁感应定律有：=B0Lv=B0Lvmsint

方案2：金属棒不动，B随时间正弦（或余弦）变化，

即B=Bmsint

，，

由求导数公式，

方案3：设杆初位置杆的中心为坐标原点，平行EF方向建立坐标轴x，平行ED方向建立y坐标，匀强磁场只分布在有限空间y=sinx内，如图所示（图中磁场分布只画了一个周期）。磁感应强度大小均为B0，但磁场方向在有限的空间周期性方向相反。

金属棒匀速向右运动过程中，位移x=vt

导棒切割产生瞬时电动势：e=B0yv= B0vsinvt=Emsinvt

其他方案合理，均算正确。

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