Question

18．一光滑斜面圆滑地连接着一光滑平面，平面上的A点距斜面底端O为s，斜面倾角为θ如图，一小球从斜面上某处滑下要运动到A点所用时间最短，小球开始运动时所在的高度h为多少？最短时间是多少？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出小球在斜面上的加速度，结合运动学公式求出小球在斜面上的运动时间和末速度，从而得出小球在水平面上的运动时间，得出总时间，根据数学不等式知识求出最短时间．

解答 解：小球在斜面上运动的加速度a=gsinθ，
根据$\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{gsi{n}^{2}θ}}=\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
到达底端的速度为：v=$\sqrt{2a\frac{h}{sinθ}}=\sqrt{2gh}$，
则在水平面上运动的时为：间${t}_{2}=\frac{s}{v}=\frac{s}{\sqrt{2gh}}$，
运动的时间为：t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{s}{\sqrt{2gh}}$≥$2\sqrt{\frac{s}{gsinθ}}$，
当$\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{s}{\sqrt{2gh}}$时，t取最小值，解得：h=$\frac{ssinθ}{2}$，${t}_{min}=2\sqrt{\frac{s}{gsinθ}}$．
答：小球开始运动所在高度h为$\frac{ssinθ}{2}$，时间最短，最短时间为$2\sqrt{\frac{s}{gsinθ}}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，本题对数学能力的要求较高，需加强这方面的训练．