Question

6．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么：
（1）求地球的质量表达式
（2）求地球平均密度的表达式
（3）假若不知地球半径和地面重力加速度，但已知近地卫星的运行周期为T，求地球的密度表达式．

Answer 1

分析 由地球表面万有引力等于重力，可得地球质量，再由体积表达式可得地球密度．
人造地球卫星绕地球飞行，靠万有引力提供向心力，表示出地球质量，再求解密度．

解答 解：（1）由地球表面万有引力等于重力，
可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）地球体积为：V=$\frac{4}{3}$πR³
故地球密度为：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（3）人造地球卫星绕地球飞行，靠万有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
由于是近地卫星，所以r=R，
所以M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
故地球密度为：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$，
答：（1）地球的质量表达式是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）地球平均密度的表达式是$\frac{3g}{4πGR}$，
（3）假若不知地球半径和地面重力加速度，但已知近地卫星的运行周期为T，地球的密度表达式是$\frac{3π}{{GT}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．