Question

如图甲所示，水平天花板下悬挂一光滑的轻质的定滑轮，跨过定滑轮的质量不计的绳（绳承受拉力足够大）两端分别连接物块A和B，A的质量为m₀，B的质量m是可以变化的，当B的质量改变时，可以得到A加速度变化图线如图乙所示，不计空气阻力和所有的摩擦，A加速度向上为正．
（1）求图乙中a₁、a₂和m₁的大小．
（2）根据牛顿定律和运动学规律，证明在A和B未着地或与滑轮接触时，AB系统机械能守恒．
（3）若m₀=0.8kg，m=1.2kg，AB开始都在离水平地面H=0.5m处，由静止释放AB，且B着地后不反弹，求A上升离水平地面的最大高度．（g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律，采用隔离法分别研究A和B，得到加速度与两物体质量的关系式，由图象上读出m→∞和两坐标轴的截距，求出a₁、a₂和m₁的大小．
（2）根据运动学公式得出速度与高度的关系，通过变形证明系统的机械能守恒．
（3）将m₀=0.8kg，m=1.2kg代入加速度的表达式，求出加速度，由运动学公式求出B着地时A的速度．B着地后A做竖直上抛运动，再由运动学公式求出A上升的最大高度．

解答：解；（1）根据牛顿第二定律得
   对B：mg-F=ma
   对A：F-m₀g=m₀a
得a=

m-m0

m+m0

g
当m→∞时　a₁=g；
当m=0时　a₂=-g；
当a=0时　m=m₁=m₀
（2）设A开始离水平面h₁，B开始离水平面h₂，由静止释放A上升到高度h₁′，B下降到高度h₂′，则
  h₁′-h₁=h₂-h₂′=h
设AB发生h位移时速度为v，则有
v²=2ah
将a=

m-m0

m+m0

g代入得
  v²=2

m-m0

m+m0

gh
变形得
 

1

2

（m+m₀）v²=mg（h₂-h₂′）-m₀g（h₁′-h₁）
得

1

2

m₀v²+m₀gh₁′+

1

2

mv²+mgh₂′=m₀gh₁+mgh₂
故A、B系统的机械能守恒．
（3）从H=0.5m高处释放，AB加速度
a=

m-m0

m+m0

g=2m/s²
B着地时A的速度为　v=

2aH

=

2

m/s
接着A做竖直上抛运动，上升的高度为h=

v2

2g

=0.1m
所以A距离水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
答：
（1）图乙中a₁=g，a₂=-g，m₁=m₀．
（2）AB系统的机械能守恒证明见上．
（3）A上升离水平地面的最大高度是1.1m．

点评：本题考查了运用数学方法解决物理问题的能力．证明题要规范，步骤要完整，要有必要的假设．