Question

如图甲所示，水平天花板下悬挂一光滑的轻质的定滑轮，跨过定滑轮的质量不计的绳（绳承受拉力足够大）两端分别连接物块A和B，A的质量为m₀，B的质量m是可以变化的，当B的质量改变时，可以得到A加速度变化图线如图乙所示，不计空气阻力和所有的摩擦，A加速度向上为正．
（1）求图乙中a₁、a₂和m₁的大小．
（2）若m₀=0.8kg，m=1.2kg，AB开始都在离水平地面H=0.5m处，由静止释放AB，且B着地后不反弹，求A上升离水平地面的最大高度．（g取10m/s²）
（3）根据牛顿定律和运动学规律，证明在A和B未着地或与滑轮接触时，AB系统机械能守恒．

Answer 1

解：（1）对B物体受力分析，受重力mg和拉力F，根据牛顿第二定律，有：mg-F=ma
对A物体受力分析，受重力m₀g和拉力F，根据牛顿第二定律，有：F-m₀g=m₀a
解得a=g
当m→∞时a₁=g
当m=0时a₂=-g
当a=0时m=m₁=m₀
即图乙中a₁、a₂和m₁的大小分别为：g、-g、m₀．
（2）方法一：用牛二定律和运动学关系解：从H=0.5m高处释放，AB加速度有
a=g=2m/s²
B着地时A速度v== m/s
接着A做竖直上抛，上升h==0.1m
A距离水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
方法二：用动能定理解：B刚落地时A、B有大小相等的速度，设为v则有：
（m+m₀）v²=（m-m₀）gH
代入数据解得：v= m/s
接着A做竖直上抛，上升h==0.1m
A距离水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
（3）设A开始离水平面h₁，B开始离水平面h₂，由静止释放A上升到高度h₁′，B下降到高度h₂′，则h₁′-h₁=h₂-h₂′=h
代入（1）问中加速度a，AB发生h位移时速度为v
v²=2ah
v²=2gh
（m+m₀）v²=mg（h₂-h₂′）-m₀g（h₁′-h₁）
得m₀v²+m₀gh₁′+mv²+mgh₂′=m₀gh₁+mgh₂
故A、B系统机械能守恒．
分析：（1）对两个物块分别受力分析，运用牛顿第二定律列式求解出加速度与质量m的关系式，再结合图象进行分析判断；
（2）B着地前，AB系统机械能守恒，B着地后，物体A继续上升，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解即可；也可以先根据牛顿第二定律求解出加速度，然后根据运动学公式列式求解；
（3）运用牛顿第二定律求解出加速度，然后根据运动学公式列式求解出速度，就可以证明系统机械能守恒；
点评：本题关键是对两个物体分别受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式列式分析求解．