Question

12．两块水平的平行金属板如图1所示放置，金属板左侧为一加速电场，电压U₀=2500V，大量质量m=1.6×10^-14kg、电荷量q=3.2×10^-10 C的带电粒子（不计重力）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地通过小孔后沿平行板的方向从两板正中间射入两板之间．当两板电势差为零时，这些带电粒子通过两板之间的时间为3t₀；当在两板间加如图2所示的周期为2t₀，幅值恒为U₀（U₀=2500V）的周期性电压时，恰好能使所有粒子均从两板间通过．已知t₀=2×10^-6s．求：

（1）带电粒子从加速电场出来时的速度？
（2）这些粒子刚穿过两板时，偏转位移的最大值和最小值分别是多少？
（3）偏转位移为最大值和最小值的情况下，带电粒子在刚穿出两板之间时的动能之比为多少？

Answer 1

分析 （1）由动能定理求解带电粒子从加速电场出来时的速度；
（2）以电场力的方向为y轴正方向，画出电子在t=0时和t=t₀时进入电场后沿电场力方向的速度v_y随时间t变化的v_y-t图象分别如图a和图b所示，根据牛顿第二定律求解加速度，再根据图象与坐标轴围成的面积计算位移；
（3）根据（2）可得射出偏转电场的最大速度和最小速度，根据动能定理得到射出电场时的动能，再求解比值．

解答 解：（1）由动能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²   解得v₁=1×10⁶m/s；
（2）以电场力的方向为y轴正方向，画出电子在t=0时和t=t₀时进入电场后沿电场力方向
的速度v_y随时间t变化的v_y-t图象分别如图a和图b所示，设两平行板之间的距离为d．
根据牛顿第二定律可得粒子在电场中运动的加速度大小为$a=\frac{qE}{m}=\frac{q{U}_{0}}{md}$；
图a中，${v}_{1y}=a{t}_{0}=\frac{q{U}_{0}}{md}{t}_{0}$
${v}_{2y}=a•2t=\frac{2q{U}_{0}}{md}{t}_{0}$，
由图（a）可得电子的最大侧移为：
${S}_{ymax}=\frac{{v}_{1y}}{2}{t}_{0}+{v}_{1y}{t}_{0}+\frac{{v}_{1y}+{v}_{2y}}{2}{t}_{0}$=$\frac{3q{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$；
而${S}_{ymax}=\frac{d}{2}$，
解得：d=$\sqrt{\frac{6q{U}_{0}}{m}}{t}_{0}=\sqrt{\frac{6×3.2×1{0}^{-10}×2500}{1.6×1{0}^{-14}}}×2×1{0}^{-6}$m=3.464cm       
由图（b）可得电子的最小侧移为
${S}_{ymin}=\frac{1}{2}{v}_{1y}{t}_{0}+{v}_{1y}{t}_{0}=\frac{3q{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}=\frac{d}{4}$，
所以${S}_{ymax}=\frac{d}{2}$=1.732cm  
S_ymin=$\frac{d}{4}$=0.866cm                   
（3）根据（2）可得：${v}_{1y}^{2}=（\frac{q{U}_{0}}{md}{t}_{0}）^{2}=\frac{q{U}_{0}}{6m}$，
${v}_{2y}^{2}={（\frac{q{U}_{0}}{md}{2t}_{0}）}^{2}=\frac{2q{U}_{0}}{3m}$，
电子经电压U₀加速：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
所以$\frac{{E}_{kmax}}{{E}_{kmin}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}}=\frac{\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}+{v}_{2y}^{2}）}{\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}+{v}_{1y}^{2}）}=\frac{q{U}_{0}+\frac{q{U}_{0}}{3}}{q{U}_{0}+\frac{q{U}_{0}}{12}}$=$\frac{16}{13}$．
答：（1）带电粒子从加速电场出来时的速度1×10⁶m/s；
（2）这些粒子刚穿过两板时，偏转位移的最大值为1.732cm，最小值为0.866cm；                   
（3）偏转位移为最大值和最小值的情况下，带电粒子在刚穿出两板之间时的动能之比为16：13．

点评 有关带电粒子在匀强电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答．