Question

9．矩形裸导线框长边的长度为2l，短边的长度为l，在两个短边上均接有阻值为R的电阻，其余部分电阻均不计．导线框的位置如图所示，线框内的磁场方向及分布情况如图，大小为$B={B_0}cos（{\frac{πx}{2l}}）$．一电阻为R的光滑导体棒AB与短边平行且与长边始终接触良好．起初导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x方向的外力F的作用下做速度为v的匀速运动．试求：
（1）导体棒AB两端的感应电动势随时间的变化规律；
（2）导体棒AB从x=0运动到x=2l的过程中外力F随时间t变化的规律；
（3）导体棒AB从x=0运动到x=2l的过程中整个回路产生的热量．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速运动，其坐标为x=vt，由e=Blv求出导体棒产生的感应电动势，
（2）根据闭合电路欧姆定律求出 通过AB棒的感应电流i，由F_安=Bil求安培力，即可由平衡条件求得外力与t关系的表达式；
（3）导体棒AB在切割磁感线的过程中产生半个周期的正弦交流电，由感应电动势的瞬时表达式，求出感应电动势的有效值，由焦耳定律求出热量．

解答 解：（1）在t时刻AB棒的坐标为：x=vt
感应电动势：$e=Blv={B_0}lvcos\frac{πvt}{2l}$
（2）回路总电阻：R_总=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R  
回路感应电流：i=$\frac{e}{{R}_{总}}$=$\frac{2{B}_{0}lvcos\frac{πvt}{2l}}{3R}$    
棒匀速运动时有：F=F_安=BIl
解得：$F=\frac{{2B_0^2{l^2}v{{cos}^2}（\frac{πvt}{2l}）}}{3R}$$（0≤t≤\frac{2l}{v}）$
（3）导体棒AB在切割磁感线的过程中产生半个周期的正弦交流电，
感应电动势的有效值为：$E=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{B_0}lv$
回路产生的电热：Q=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{总}}$t
通电时间t=$\frac{2l}{v}$
联立解得Q=$\frac{2{{B}_{0}}^{2}{l}^{3}v}{3R}$
答：（1）某一时刻t产生的电动势e=B₀lvcos$\frac{πvt}{2l}$；
（2）某一时刻t所受的外力$F=\frac{{2B_0^2{l^2}v{{cos}^2}（\frac{πvt}{2l}）}}{3R}$$（0≤t≤\frac{2l}{v}）$；
（3）整个回路产生的热量Q=$\frac{2{{B}_{0}}^{2}{l}^{3}v}{3R}$．

点评 本题以正弦式电流的产生来考查电磁感应的应用；关键要掌握电磁感应和电路的基本规律，知道在计算热量时一定要用到有效值．