Question

【题目】如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=20m，该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37°斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使质量m=100kg的小车（视为质点）从P点以一定的初速度v0沿斜面向下运动，不计空气阻力，已知斜轨道面与小车间的动摩擦力为μ= ，取g=10m/
s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5°= ．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，则：

（1）小车在A点的速度为多大？
（2）小车运动到圆形轨道最低点时对轨道的压力大小？
（3）初速度v0的大小？

Answer 1

【答案】
（1）解：由于小车恰能通过A点，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律得：

mg=m

解得：vA= = m/s=10 m/s ①

答：小车在A点的速度为 m/s．

（2）解：如图，小车经轨道最低点时对轨道压力最大．设在最低点轨道对小车的支持力为

则有： ﹣mg=m ②

小车由D到A的运动过程机械能守恒

则有：2mgR= ﹣ ③

由①②③得： ．

由牛顿第三定律，在D点小车对轨道的压力 = =6mg=6000N．

答：小车运动到圆形轨道最低点时对轨道的压力大小为6000N．

（3）解：设PQ距离为L，对小车由P到A的过程应用动能定理

得：﹣μmgLcos37°= ﹣ ④

由几何关系：L= =60m⑤

由①④⑤得：

答：初速度v0的大小为 ．

【解析】（1）小车恰好能通过圆形轨道的最高点C处，轨道对小车的弹力为零，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在C点的速度．再由动能定理求小车在A点的初速度．（2）根据动能定理或机械能守恒求出小车在轨道D点时的速度，再运用牛顿第二定律，通过支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛顿第三定律得到压力．
【考点精析】本题主要考查了向心力和动能定理的综合应用的相关知识点，需要掌握向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力；应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷才能正确解答此题．