飞行时间质谱仪可以根据带电粒子的飞行时间对气体分子进行分析．如图所示.在真空状态下.自脉冲阀P喷出微量气体.经激光照射产生不同正离子.自a板小孔进入a.b间的加速电场.从b板小孔射出.沿中线方向进入M.N板间的方形区域.然后到达紧靠在其右侧的探测器．已知极板a.b间的电压为U0.间距为d.极板M.N的长度和间距均为L．不计离子重力及经过a板时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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飞行时间质谱仪可以根据带电粒子的飞行时间对气体分子进行分析．如图所示，在真空状态下，自脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的方形区域，然后到达紧靠在其右侧的探测器．已知极板a、b间的电压为U₀，间距为d，极板M、N的长度和间距均为L．不计离子重力及经过a板时的初速度．
（1）若M、N板间无电场和磁场，请推导出离子从a板到探测器的飞行时间t与比荷k（k=$\frac{q}{m}$，q和m分别为离子的电荷量和质量）的关系式；
（2）若在M、N间只加上偏转电压U₁，请论证说明不同正离子的轨迹是否重合；
（3）若在M、N间只加上垂直于纸面的匀强磁场．已知进入a、b间的正离子有一价和二价的两种，质量均为m，元电荷为e．要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，求所加磁场的磁感应强度的最大值B_m．

分析（1）粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理可求得粒子的速度；再由运动的合成和分解可求得运动时间；
（2）带电离子在平行板M、N之间做类平抛运动，根据运动的合成和分解可明确轨迹的表达式，则可明确轨迹是否重合；
（3）当MN间的磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，根据圆周运动的知识和几何关系可求得磁感应强度的最大值．

解答解：（1）带电离子在平行板a、b之间运动时，由动能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，即：v=$\sqrt{2k{U}_{0}}$ …①
带电离子在平行板a、b之间的加速度为：
a₁=$\frac{q{U}_{0}}{dm}$，即：a₁=$\frac{k{U}_{0}}{d}$．
所以带电离子在平行板a、b之间的运动时间为：
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$$\frac{d\sqrt{2k{U}_{0}}}{k{U}_{0}}$；
带电离子在平行板M、N之间的运动时间为：
t₂=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
所以带电离子从a板到探测器的飞行时间为：
t=t₁+t₂=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
（2）带电离子在平行板M、N之间水平位移为x时，在竖直方向位移为y，
水平方向满足：x=vt，
竖直方向满足：y=$\frac{1}{2}$a₂t²，
加速度a₂=$\frac{k{U}_{1}}{L}$，
联立解得：y=$\frac{{U}_{1}{x}^{2}}{4L{U}_{0}}$ …②
②式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的．
（3）当M、N间磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，满足：Bvq=$\frac{m{v}^{2}}{R}$…③
联立①③两式解得：带电离子的轨道半径为：R=$\sqrt{\frac{2{U}_{0}m}{{B}^{2}q}}$…④
上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出．
所以，要使所有的一价和二价正离子均能通过方形区从右侧飞出，只要二价正离子能从方形区飞出即可．
当二价正离子刚好能从方形区域飞出时的磁感应强度为满足题目条件的磁感应强度的最大值
设当离子刚好通过方形区从右侧飞出时的轨道半径为R，
由几何关系得，R²=L²+（R-$\frac{L}{2}$）²，
解得：R=$\frac{5L}{4}$…⑤
将二价正离子的电量2e代入⑦式得：R=$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{{B}^{2}e}}$…⑥
联立⑧⑨可解得：B=$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$，此值即为所求的磁感应强度的最大值B_m．
答：（1）离子从a板到探测器的飞行时间t=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
（2）若在M、N间只加上偏转电压U₁，正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的；
（3）要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，所加磁场的磁感应强度的最大值是$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$．

点评本题考查了电荷的加速与电荷的偏转，关键将电荷的偏转进行分解，知道在水平方向和竖直方向上的运动规律，关键要把动能定理、类平抛运动规律、牛顿运动定律及其相关知识结合解答．

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