Question

11．如图所示为一条平直公路，其中A点左边的路段为足够长的柏油路面，A点右边路段为水泥路面，已知汽车轮胎与柏油路面的动摩擦因数为μ₁，与水泥路面的动摩擦因数为μ₂．某次测试发现，当汽车以速度v₀在路面行驶时，刚过A点时紧急刹车后（车轮立即停止转动），汽车要滑行到B点才能停下．现在，该汽车以2v₀的速度在柏油路面上向右行驶，突然发现B处有障碍物，需在A点左侧的柏油路段上某处紧急刹车，才能避免撞上障碍物．（重力加速度为g）
（1）求水泥路面AB段的长度；
（2）为防止汽车撞上障碍物，开始紧急刹车的位置距A点的距离至少为多少？若刚好不撞上，汽车紧急刹车的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）汽车在水泥路上刹车做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律求出汽车在水泥路面上的加速度，根据位移速度公式求出水泥路面AB段的长度；
（2）根据题意，汽车如果不撞上障碍物B，则在A点的速度应为v₀，根据牛顿第二定律求出在柏油路面上的加速度，根据速度时间公式求出在柏油路上运动的时间及在水泥路面上运动的时间，两段时间之和即为总时间．根据速度位移公式求出开始紧急刹车的位置距A点的距离．

解答 解：（1）水泥路面上运动的加速度大小为a₂，则：
μ₂mg=ma₂
由：$-2{a}_{2}{x}_{2}=0-{{v}_{0}}^{2}$
解得：${x}_{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{μ}_{2}g}$         
（2）根据题意，汽车如果刚好不撞上障碍物B，在A点的速度应为v₀，在柏油路上运动时间为t₁，加速度大小为a₁，运动位移为x₁，则：
μ₁mg=ma₁
v₀-2v₀=-a₁t₁
$-2{a}_{1}{x}_{1}={{v}_{0}}^{2}-4{{v}_{0}}^{2}$
解得：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{μ}_{1}g}$，${x}_{1}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{2{μ}_{1}g}$
在水泥路面上运动时间为t₂则：0-v₀=-a₂t₂
解得：${t}_{2}=\frac{{v}_{0}}{{μ}_{2}g}$
汽车不撞上，则应在A点左侧距A点距离大于${x}_{1}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{2{μ}_{1}g}$的位置开始紧急刹车．
汽车运动的时间：t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{{v}_{0}}{{μ}_{1}g}+\frac{{v}_{0}}{{μ}_{2}g}=\frac{（{μ}_{1}+{μ}_{2}）{v}_{0}}{{μ}_{1}{μ}_{2}g}$
答：（1）求水泥路面AB段的长度为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{μ}_{2}g}$；
（2）为防止汽车撞上障碍物，开始紧急刹车的位置距A点的距离至少为$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{2{μ}_{1}g}$；
若刚好不撞上，汽车紧急刹车的时间是$\frac{（{μ}_{1}+{μ}_{2}）{v}_{0}}{{μ}_{1}{μ}_{2}g}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律及运动学基本公式的直接应用，知道汽车如果不撞上障碍物B，则在A点的速度应为v₀，难度适中．