Question

14．某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，下方水面上漂浮着一个半径为R铺有海绵垫的转盘，转盘轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差H．选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速为零、加速度为a的匀加速直线运动．起动后2s悬挂器脱落．设人的质量为m（看作质点），人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g．
（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围；
（2）若H=3.2 m，R=0.9 m，取g=10m/s²，当a=2m/s²时选手恰好落到转盘的圆心上，求L；
（3）若H=2.45 m，R=0.8 m，L=6m，取g=10m/s²，选手要想成功落在转盘上，求加速度a的范围．

Answer 1

分析 （1）根据静摩擦力提供向心力，结合牛顿第二定律求出转盘角速度的范围．
（2）（3）抓住平抛运动的水平位移和匀加速直线运动的位移等于L，结合位移公式和速度公式求出匀加速运动的时间；根据平抛运动的分位移公式列式求解．

解答 解：（1）设人落在圆盘边缘处不至被甩下，临界情况下，最大静摩擦力提供向心力
则有：μmg=mω²R          
解得ω=$\sqrt{\frac{μg}{R}}$，
所以转盘的角速度ω≤$\sqrt{\frac{μg}{R}}$，
（2）匀加速过程x₁=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2{×2}^{2}$m=4 m   
 v_c=at=4 m/s       
平抛过程H=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$
 得t₂=0.8 s   
x₂=v_ct₂=4×0.8 m=3.2 m         
故 L=x₁+x₂=7.2 m           
（3）分析知a最小时落在转盘左端，a最大时落在转盘右端；人落地的时间：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×2.45}{10}}=0.7$s
据L-R=$\frac{1}{2}$a₁×2²+2a₁×0.7
解得a₁=$\frac{26}{17}$≈1.53 m/s²        
据L+R=$\frac{1}{2}$a₂×2²+2a₂×0.7   
解得a₂=2 m/s²     
所以1.53 m/s²≤a≤2 m/s²     
答：（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω≤$\sqrt{\frac{μg}{R}}$，
（2）已知H=3.2m，R=0.9m，取g=10m/s²，当a=2m/s²时选手恰好落到转盘的圆心上，L=7.2 m；
（3）选手要想成功落在转盘上，可以选择的加速度范围是1.53 m/s²≤a≤2  m/s²．

点评 解决本题的关键理清选手的运动过程，结合牛顿第二定律、平抛运动的分位移公式、运动学公式灵活求解．