Question

如图所示，左图是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的原理图．在原理图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=

1

24

．问：（已知：g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（

a

2

）=

sina

1+cosa

．结果可保留根号．）

（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

（1）小车恰好过A点，由牛顿第二定律有
mg=m

v 2A

R1

小球P到A的过程中，由动能定理有
-μmgcosα?S_PQ=

1

2

m

v

2A

-

1

2

m

v

20

由几何关系可得S_PQ=

R1(1+cosα)

sinα

代入数据可得v₀=2

6

m/s
（2）小车以v=10m/s的初速度从P点下滑时，因为有v=10m/s＞v₀=2

6

m/s
所以小车可以通过圆弧轨道O₁，设小车恰好能通过B点，
由牛顿第二定律有 mg=m

v 2B

R2

则P到B由动能定理得
-μmgcosα?S_PZ=

1

2

m

v

2B

-

1

2

m

v

2P

其中 S_PZ=

R2(1+cosα)

sinα

代入数据可得 v_P=

96

m/s
因为v_P=

96

m/s＜10m/s，所以小车能安全通过两个圆形轨道．
答：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为2

6

m/s；
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，小车能安全通过两个圆形轨道．