Question

如图甲所示，在边界OO′左侧区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向水平向外．右侧水平放置长为L、相距为d的平行金属板M、N，M 板左端紧靠磁场边界，磁场边界上O点与N 板在同一水平面上，边界OO′与水平面的夹角为45°，O₁O₂为平行板的中线，在两板间存在如图乙所示的交变电场（取竖直向下为正方向）．某时刻从O 点竖直向上同时发射两个质量均为m、电量均为+q的粒子a和b，初速度不同．粒子b在图乙中的时刻，恰好紧靠M板左端进入电场，粒子a从O₁点进入板间电场运动．不计粒子重力和粒子间的相互作用．

求：
（1）粒子a、b 从O 点射出时的初速度v_a和v_b；
（2）若交变电场周期T=

4m

qB

，粒子b在图乙中的t=0时刻进入电场，粒子a是在图乙中的哪一时刻，从O₁点进入板间电场运动；
（3）若粒子b 恰能以最大的速度穿出极板间电场，电场强度大小E₀ 应满足的条件及粒子b穿过板间电场过程中，电场力所做功的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意正确画出粒子在磁场中的运动的轨迹，在根据轨迹上的几何关系确定粒子运动的半径，由洛伦兹力提供向心力求得速度；
（2）粒子a、b同时离开磁场，a比b进入电场落后时间为△t=

d

2va

，即可求解．
（3）根据牛顿第二定律求出加速度，进而确定粒子在电场中运动的规律，最后求出电场强度满足的条件；电场力做功最大值为 W=qE₀y，y是粒子在

T

2

时间内沿电场方向的位移．

解答：解：（1）如图甲所示，粒子a、b在磁场中均偏转90°平行于金属板进入电场，设两粒子在磁场中回旋半径分别是r_a和r_b，则由几何关系有：
 r_a=

d

2

； r_b=d
由洛伦兹力提供向心力有：
qvB=m

v2

r

，v=

qBr

m

解得：v_a=

qBd

2m

，v_b=

qBd

m

（2）粒子a、b同时离开磁场，a比b进入电场落后时间为：△t=

d

2va

=

d

2? qBd 2m

=

m

qB

=

T

4

故粒子b在图乙中的t=0时刻进入电场，粒子a是在图乙中的

T

4

时刻，从O₁点进入板间电场运动；
（3）粒子b在t=0时刻进入电场，粒子在电场中运动的加速度 a=

qE0

m

，粒子b在电场方向上速度随时间的变化图象如图丙所示，依题意，粒子b在电场中运动的时间满足：
t_b=

L

vb

=k

T

2

（k=1、3、5…）
又因为有：v_b=

qBd

m

粒子在

T

2

时间内沿电场方向的位移为：
y=

1

2

a(

T

2

)2
且满足ky≤d
解得：E₀≤

2kqd2B2

mL2

（k=1、3、5…）
电场力做功为：W=qE₀y=qE₀?

1

2

a(

T

2

)2
解得：W=

2q2d4B2

mL2

答：（1）粒子a、b 从O 点射出时的初速度v_a和v_b分别为

qBd

2m

和

qBd

m

．
（2）粒子b在图乙中的t=0时刻进入电场，粒子a是在图乙中的

T

4

时刻，从O₁点进入板间电场运动；
（3）若粒子b 恰能以最大的速度穿出极板间电场，电场强度大小E₀ 应满足的条件：E₀≤

2kqd2B2

mL2

（k=1、3、5…），粒子b穿过板间电场过程中，电场力所做功的最大值为

2q2d4B2

mL2

．

点评：做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析，难度较大．