Question

（2013?南通二模）如图甲所示，在边界OO′左侧区域有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向水平向外．右侧水平放置长为L、相距为d的平行金属板M、N，M板左端紧靠磁场边界，磁场边界O点与N板在同一水平面上，边界OO′与水平面的夹角为45°，O₁O₂为平行板的中线，在两板间存在如图乙所示的交变电场（取竖直向下为正方向）．某时刻从O点竖直向上同时发射两个质量均为m、电量均为+q粒子a和b，由于初速度不同，粒子a在图乙中的t=

T

4

时刻，从O₁点进入板间电场运动，并从O₂点射出板间电场；粒子b恰好紧靠M板进入电场，已知交变电场周期T=

4m

qB

，不计粒子重力和粒子间的相互作用．
（1）求粒子a、b从O点射出时的初速度v_a和v_b．
（2）粒子b能穿出板间电场，求电场强度大小E₀满足的条件．
（3）若粒子b刚好能穿出板间电场，求粒子b穿过板间电场过程中电场力做的功W．

Answer 1

分析：（1）根据题意正确画出粒子在磁场中的运动的轨迹，在根据轨迹上的几何关系确定粒子运动的半径，由洛伦兹力提供向心力求得速度；
（2）根据牛顿第二定律求出加速度，进而确定粒子在电场中运动的规律，最后求出电场强度满足的条件；

解答：解：（1）如图甲所示，粒子a、b在磁场中均转过90°，平行于金属板进入电场，设在磁场中回旋半径分别是r_a和r_b，则由几何关系有
ra=

d

2

；  r_b=d
由洛伦兹力提供向心力有：qvaB=

m v 2 a

ra

；qvbB=

m v 2 b

rb

解得va=

qBd

2m

；vb=

qBd

m

（2）粒子a、b同时离开磁场，a比b进入电场落后的时间  △t=

d

2va

解得  △t=

m

qB

=

T

4

粒子b在t=0时刻进入电场，粒子在电场中运动的加速度：a=

qE0

m

粒子a在竖直方向速度随时间的变化图象如图乙，在板间运动的时间：ta=

L

va

=kT（k为正整数）
粒子b在竖直方向速度随时间的变化图象如图丙，在板间运动的时间：tb=

L

vb

=

kT

2

粒子b在

T

2

内沿竖直方向运动的位移：y0=

1

2

a(

T

2

)2
粒子b能够穿出板间电场应满足  ky₀≤d
解得E0≤

qd2B2

mL

（3）由上述可知  E0=

qd2B2

mL

粒子b在板间运动的时间 t0=

L

v0

=k

T

2

则 k=

L

2d

讨论：k是下列两种可能之一
①若k为偶数，粒子b在竖直方向的速度v_y=0
则  W=0
②若k为奇数  W=qE0?

1

2

a(

T

2

)2
解得 W=

2q2d4B2

mL2

答：（1）粒子a、b从O点射出时的初速度va=

qBd

2m

和vb=

qBd

m

．
（2）电场强度大小E₀满足的条件E0≤

qd2B2

mL

．
（3）粒子b穿过板间电场过程中电场力做的功W=

2q2d4B2

mL2

．

点评：做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析，难度较大