Question

【题目】在直角坐标系xOy中，A（﹣0.3，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，0.3）．在第二象限内以D（﹣0.3，0.3）为圆心、0.3m为半径的 圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B=0.1T 的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场．现有大量质量为m=3×10﹣9kg、电荷量为q=1×10﹣4C的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从P点进入电场，经电场后恰好通过C点．已知α=37°，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：

（1）粒子的初速度大小和电场强度E的大小；
（2）粒子穿越x正半轴的最大坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径r，粒子的初速度v

洛伦兹力提供向心力：qvB=m

可得：r= ①

根据题意和几何知识，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×103m/s

沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直．所以，该粒子在电场中做类平抛运动，设类平抛运动时间为t

x方向：OC=vt ②

y方向：OP= at2 ③

根据几何关系得： =tanα ④

根据牛顿第二定律：Eq=ma ⑤

②③④⑤式子联立得：E=112.5V/m

答：粒子的初速度大小v=1×103m/s，电场强度的大小为E=112.5V/m；

（2）设速度方向与x轴正方向的夹角为θ的入射粒子，从x正半轴穿过时距离O点最远，粒子从F点离开磁场，其中O′是粒子运动轨迹的圆心，粒子运动到F点时的速度为vF，

由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以四边形ADFO′为菱形，O′F∥AD，速度vF⊥O′F，而AD又是竖直方向，所以vF垂直于y轴从F′点进入电场，仍做类平抛运动

设粒子在电场中的运动时间为t′，粒子穿越x正半轴的最大坐标为xC，粒子做类平抛运动x方向的位移为x，F′点的坐标为（xF′，yF′），F点的纵坐标为yF，则yF=yF′，

类平抛过程，x方向：x=vt′⑥

y方向：yF= at′2 ⑦

粒子到达x轴的坐标为xC=x+xF′⑧

根据几何关系得：xF′= ⑨

yF=r（1﹣cosθ） ⑩

联立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：xC=0.4 +0.4cosθ

令 =k，所以xC=0.4k+0.4（1﹣k2）

根据数学知识可知，当k=0.5时xC有最大值，最大值为0.5m

答：粒子穿越x正半轴的最大坐标为0.5m．

【解析】（1）先根据洛伦兹力提供向心力，求出半径，进而求出速度的大小，粒子在电场中，做类平抛运动有规律，列式求解。
（2）因为粒子进入电场时速度沿x轴的正方向，根据集合关系，求出到达x轴时的位置坐标，再结合数学，辅助角公式，求出粒子穿越x正半轴的最大坐标．