Question

质量M=10kg的B板上表面上方，存在一定厚度的相互作用区域，如图中划虚线的部分，当质量m=1kg的物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于P，f=kmg，k=51，f对P的作用使P刚好不与B的上表面接触；在水平方向，P、B之间没有相互作用力．已知物块P开始自由下落的时刻，B板向右运动的速度为v₀=10m/s．P从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为T₀=2.0s．设B板足够长，B板与水平面间的动摩擦因数μ=0.02，为保证物块P总能落入B板上方的相互作用区，问：当B刚好停止运动时，P已经回到过初始位置几次？（g=9.8m/s²）

Answer 1

根据题意，在物块P从开始下落至刚要进入相互作用区的时间T₀内，板在摩擦力作用下的加速度a1=

μMg

M

=μg
板速度的减少量△v₁=aT₀即△v₁=μgT₀
代入数据，得△v₁=0.392m/s
物块P进入相互作用区后，便受到板的向上作用力，因而做减速运动．
物块P刚进入相互作用区的速度v₀=gT₀
设在相互作用区内物块P做减速运动的加速度为a，
则由题给条件可知a=

kmg-mg

m

=(k-1)g
经历时间T，物块刚要到达B板上表面，则有 v₀=aT
由以上三式解得T=

T0

k-1

在T时间内，B板受到的摩擦力为  μ（Mg+kmg），
在摩擦力作用下的B板加速度a2=

μ(Mg+kmg)

M

在这段时间内，B板速度的减少量△v₂=a₂T
即△v2=

μ(M+km)gT0

(k-1)M

代入数据，解得△v2=4.782×10-2m/s
当物块P的速度减到零后，又开始以加速度a向上做加速运动，经历时间T，跑出相互作用区，在这段时间内，B板减少的速度仍是△v₂；
物块P离开相互作用区后，做加速度为g的减速运动，经历时间T₀，回到初始位置，在这段时间内，B板减少的速度为△v₁，以后物块又从起始位置自由落下，重复以前的运动，B板的速度再次不断减少．
总结以上分析可知：
每当物块P完成一次从起始位置自由下落，进入相互作用区后又离开相互作用区，最后回到起始位置的过程中，
B板速度减少的总量为△v=2△v₁+2△v₂
代入△v=0.8796m/s
设在物块P第n次回到起始位置时刻，B板的速度为v_n，则有v_n=v₀-n△v，n越大，v_n越小．
设当n=n₀时，v_n已十分小，致使在物块P由n=n₀到n=n₀+1的过程中的某一时刻，B板的速度已减至零，
若仍用上式，则表示当n=n₀时，v_n0＞0；当n=n₀+1时，v_n0+1＜0，
即有  v₀-n₀△v＞0，v₀-（n₀+1）△v＜0
代入有关数据，得 n₀＜11.37，n₀＞10.37
因为

n

0

为整数，故有n₀=11，即当B开始停止运动的那一时刻，P已经回到过初始位置11次   
答：当B刚好停止运动时，P已经回到过初始位置11次．