Question

（2008?上海）如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属球，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，高平行轨道中够长．已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小．
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R₂上的电功率P₂．
（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v₃，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式．

Answer 1

分析：（1）导体棒受到重力和安培力的作用，注意此时导体棒的有效切割长度和外电路的串并联情况．
（2）导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，说明导体棒匀速运动，导体棒在下落h的过程中做匀变速直线运动，根据运动规律可求出下落距离h，根据并联电路可知R₂上消耗的功率占整个电路的

3

4

，总电功率等于导体棒重力功率．
（3）正确进行受力分析，注意安培力的表达式，然后根据牛顿第二定律求解即可．

解答：解：（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落

r

2

时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得：
mg-BIL=ma，式中l=

3

r，I=

Blv1

R总

式中：R总=

8R×(4R+4R)

8R+(4R+4R)

=4R
由以上各式可得到：a=g-

3B2r2v1

4mR

故导体棒ab从A下落

r

2

时的加速度大小为：a=g-

3B2r2v1

4mR

．
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即：mg=BI×2r=B×

B×2r×vt

R并

×2r=

4B2r2vt

R并

式中：R并=

12R×4R

12R+4R

=3R
解得：vt=

mgR并

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有v_t²-v₂²=2gh，
得：h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

，
此时导体棒重力的功率为：PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

，
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即P_电=P₁+P₂=P_G=

3m2g2R

4B2r2

，
所以，P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

，
故磁场I和II之间的距离h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

，和R₂上的电功率P2=

9m2g2R

16B2r2

．
（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为v'_t，此时安培力大小为：F′=

4B2r2v′t

3R

由于导体棒ab做匀加速直线运动，有v'_t=v₃+at
根据牛顿第二定律，有
F+mg-F′=ma
即：F+mg-

4B2r2(v3+at)

3R

=ma
由以上各式解得：F=

4B2r2

3R

(at+v3)-m(g-a)=

4B2r2a

3R

t+

4B2r2v3

3R

+ma-mg
故所加外力F随时间变化的关系式为：F=

4B2r2a

3R

t+

4B2r2v3

3R

+ma-mg．

点评：本题考查了关于电磁感应的复杂问题，对于这类问题一定要做好电流、安培力、运动情况、功能关系这四个方面的问题分析．